Question

¿Cuáles son los primeros cinco términos de una progresión geométrica si se sabe que a2=2 ya4=54?​

Answer 1

Respuesta:

Explicación paso a paso:

En una progresión geométrica el término general se calcula con $a_n=a_1*r^{n-1}$   donde r es la razón de la progresión y $a_1$ es su primer término.

Sabemos que $a_2=2$   entonces usando la fórmula podemos decir que

                       $a_2=a_1*r^(2-1) = a_1*r$  entonces  2 = $a_1*r$   (1)

Sabemos que $a_4=54$  entonces usando la fórmula podemos decir que

                        $a_4=a_1*r^(4-1)=a_1*r^3$ entonces  54 = $a_1*r^3$   (2)

Tenemos dos ecuaciones (1) y (2)

De la ecuación (1) despejamos $a_1$         $a_1=\frac{2}{r}$    (3)

De la ecuación (2) despejamos $a_1$        $a_1= \frac{54}{r^{3} }$   (4)

Como $a_1$ debe ser igual para los dos casos igualamos las ecuaciones (3) y (4)

$\frac{2}{r}=\frac{54}{r^3}$  por propiedad de las proporciones podemos multiplicar los  

           extremos y los medios

$2r^3=54r$      

Como r es distintos de cero, divido por 2r ambos miembros

$r^{2} =27$   entonces  r =$\sqrt{27}$ =$3\sqrt{3}$    o r = $-\sqrt{27}$=$-3\sqrt{3}$

Por cada r obtenemos un término $a_1$

Si r = $3\sqrt{3}$      $a_1=\frac{2}{3\sqrt{3} }$

Los cinco primeros términos de la progresión son :

$\frac{2}{3\sqrt{3} } ; 2; 6\sqrt{3}: 54, 162\sqrt{3}$

Si r = $-3\sqrt{3}$    $a_1 = -\frac{2}{3\sqrt{3} }$

Los cinco primeros términos de la progresión son :

$-\frac{2}{3\sqrt{3} } ; 2; -6\sqrt{3}: 54, -162\sqrt{3}$