Question

CUALES SON las dimensiones de un tambo de 200 litros que minimicen la cantidad de lámina que se usa en la superficie lateral si: El tambo está cerrado; y SI El tambo no tiene tapa.

Answer 1

El área superficial del tambo se minimiza cuando:

a) Con tapa: el radio es igual a $r=\sqrt[3]{\frac{100}{\pi} }$ y la altura es $h=\frac{200}{\pi (\sqrt[3]{\frac{100}{\pi})^{2}}}$.  

b) Sin tapa: el radio es igual a $r=\sqrt[3]{\frac{200}{\pi} }$ y la altura es $h=\frac{200}{\pi (\sqrt[3]{\frac{200}{\pi})^{2}}}$ .  

Explicación paso a paso:  

a) Con tapa:

La función objetivo es el área superficial del tambo. Si llamamos h la altura y r el radio del cilindro; la función objetivo viene dada por:  

$A=2\pi rh+2\pi r^{2}$  

Lo conveniente es que el área esté expresada solo en función del radio, por lo que usaremos el volumen conocido (ecuación auxiliar) para despejar h en función de r:  

$200=\pi r^{2}h \qquad \Rightarrow$  

$h=\frac{200}{\pi r^{2}}$  

por tanto la función objetivo es  

$A=\frac{400}{r} +2 \pi r^{2}$  

Los valores máximos y mínimos de una función se obtienen usando los criterios de primera y segunda derivada para extremos relativos.  

Primero, hallamos los puntos críticos de la función. Esto es derivar la función e igualar a cero. Los puntos que satisfacen esta ecuación son los puntos críticos de A.  

$A'=-\frac{400}{r^{2}} +4 \pi r$  

$A'=0 \quad \Rightarrow \quad -\frac{400}{r^{2}} +4 \pi r=0\quad \Rightarrow$  

$-400+4 \pi r^{3}=0\quad \Rightarrow$  

$\bold{r=\sqrt[3]{\frac{100}{\pi}}}$  

Este es el punto crítico o posible extremo de la función.  

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden que nos permitirá decidir si el punto crítico es un máximo, segunda derivada negativa, o un mínimo, segunda derivada positiva.  

$A''=\frac{800}{r^{3}} +4 \pi$  

Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.  

$A''_{\sqrt[3]{\frac{100}{\pi} }}>0\quad \Rightarrow \quad r=\sqrt[3]{\frac{100}{\pi} }$ es un mínimo de la función A.  

Cuarto, hallamos el valor de  h  y tenemos las dimensiones del cilindro de mínima área lateral.

$h=\frac{200}{\pi (\sqrt[3]{\frac{100}{\pi})^{2}}}$  

b) Sin tapa:

La función objetivo viene dada por:  

$A=2\pi rh+\pi r^{2}$  

Despejamos h en función de r:  

$200=\pi r^{2}h \qquad \Rightarrow$  

$h=\frac{200}{\pi r^{2}}$  

por tanto la función objetivo es  

$A=\frac{400}{r} + \pi r^{2}$  

Primero, hallamos los puntos críticos de la función.

$A'=-\frac{400}{r^{2}} +2 \pi r$  

$A'=0 \quad \Rightarrow \quad -\frac{400}{r^{2}} +2 \pi r=0\quad \Rightarrow$  

$-400+2 \pi r^{3}=0\quad \Rightarrow$  

$\bold{r=\sqrt[3]{\frac{200}{\pi}}}$  

Este es el punto crítico o posible extremo de la función.  

Segundo, hallamos la derivada de segundo orden.  

$A''=\frac{800}{r^{3}} +2 \pi$  

Tercero, evaluamos la segunda derivada en el punto crítico y aplicamos el criterio de decisión correspondiente.  

$A''_{\sqrt[3]{\frac{200}{\pi} }}>0\quad \Rightarrow \quad r=\sqrt[3]{\frac{200}{\pi} }$ es un mínimo de la función A.  

Cuarto, hallamos el valor de  h  y tenemos las dimensiones del cilindro de mínima área lateral.

$h=\frac{200}{\pi (\sqrt[3]{\frac{200}{\pi})^{2}}}$