Question

cuales fueron los principales matemáticos en usar la notación usual de función y en que trabajo lo hicieron

Answer 1

El concepto de función lo formalizaron: Descartes, Newton y Leibniz. Ellos establecieron la idea de función como dependencia. 
Leibniz, en particular, introdujo los términos de función y variable.
El simbolo f(x), F(x), etc., fue utilizado por primera vez por Euler.