cuales es el área del mismo cuadrado considerando que es la suma de los cuatro triángulos
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Este teorema, enunciado por el matemático griego Pitágoras en el siglo V a.C., es uno de los resultados más conocidos e importantes de la geometría y posee gran cantidad de aplicaciones tanto en distintas partes de las matemáticas como en situaciones de la vida diaria.
El teorema se aplica a los triángulos rectángulos, y dice los siguiente:
"En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"
Si llamamos "a" a la hipotenusa de un triángulo rectángulo y "b", "c" a los catetos ⇒ a2=b2+c2
A los grupos de tres números "a", "b" y "c" que verifican a2=b2+c2 se les llama "ternas pitagóricas"
Gráficamente, el teorema de Pitágoras se expresa de la forma siguiente:
Teorema de pitágoras
"En un triángulo rectángulo, el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa, es la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos"
El teorema de Pitágoras es sencillo de probar, y tiene muchas demostraciones de diversos tipos, pero la más sencilla puede ser la siguiente:
Mira las dos figuras siguientes:
(b+c)^2=b^2+c^2+2bc(b+c)^2=a^2+2bc
Ambas son dos cuadrados de lado (b+c), y en las dos puedes ver que aparecen cuatro triángulos rectángulos de lados "a", "b" y "c", en color rosa todos ellos.
Eso quiere decir, que las partes restantes en cada uno de los cuadrados de lado (b+c) deben tener el mismo área.
b^2 + a^2=a^2
En el primero, la parte restante son los cuadrados amarillo y azul, de áreas b2 y c2; en el segundo el cuadrado verde, de área a2. Esas áreas deben ser iguales, es decir:
a2 = b2 +c 2
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Teorema de la Altura
Sea un triángulo rectángulo, cuyos catetos denotaremos por "b" y "c", siendo "a" la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y "h" la altura del triángulo sobre la hipotenusa:
altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo ABC
De las tres alturas que tiene un triángulo rectángulo, dos de ellas son los catetos; y la tercera, la altura sobre la hipotenusa, está relacionada con los lados del triángulo por la siguiente relación:
"El producto de los dos catetos, de un triángulo rectángulo, coincide con el producto de la hipotenusa por la altura sobre ella"
En efecto:
La expresión del área de un triángulo ("área igual a base por altura dividido entre dos") vamos a aplicarla dos veces al triángulo rectángulo ABC.
Considerando un cateto como base (el otro sería la altura correspondiente)
Area=(basex altura)/ 2
Considerando la hipotenusa como base, se tiene la siguiente igualdad:
Area=(basexaltura)/2
Luego, igualando ambas expresiones, se obtiene:hipotenusaxaltura sobre hipotenusa=catetoxcateto
El teorema de la altura nos da otra relación: la relación entre la altura sobre la hipotenusa y las proyecciones de los catetos sobre la misma:
Denotaremos por "h" la altura del triángulo sobre la hipotenusa y por "m", "n" a las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa.
Elementos de un triángulo rectángulo
A parte del triángulo ABC, que por definición es rectángulo, al trazar la altura sobre la hipotenusa, aparecen dos nuevos triángulos rectángulos (por ser la altura perpendicular a la base), a saber, ADC y ADB.
aplicación de pitágoras al triangulo ADCAplicación de pitágoras al triángulo ABD
Aplicamos Pitágoras al ADC ⇒ b2 = h2 + m2
Aplicamos Pitágoras al ADC ⇒ c2 = h2+ n2
Además, dado que ABC era un triángulo rectángulo, aplicando de nuevo Pitágoras ⇒ a2 = b2 + c2
Sustituyendo en la última expresión b2 y c2 por las expresiones obtenidas anteriormente, resulta:
a2 = b2 + c2 = (h2 + m2) + (h2 + n2) = 2h2 + m2 +n2
Por otra parte, a = m + n, de donde:
a2 = (m + n)2 = m2 + n2 + 2nxm
Igualando ambas expresiones equivalentes a a2:
2h2 + m2 + n2 = m2 + n2 + 2nxm ⇒ 2h2 = 2 mxn ⇒ h2 = mxn
El resultado anterior se conoce con el nombre de Teorema de la Altura, y se enuncia de la siguiente manera
"En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa"
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Teorema del Cateto
Considerando de nuevo el triángulo ADC:
aplicación de pitágoras al triangulo ADC
y aplicando Pitágoras: b2 = h2 + m2
Por el teorema de la altura, que acabamos de demostrar, se cumple: h2 = mxn
Y sustituyendo la segunda expresión en la primera, se obtiene:
b2 = mx n + m2 ⇒ b2 = m x(n + m) = m x a ⇒ b2 = m xa
Considerando ahora el triángulo ADB:
Aplicación de pitágoras al triángulo ABD
y aplicando Pitágoras: c2 = h2 + n2
Por el teorema de la altura, que acabamos de demostrar, se cumple: h2 = mxn
Y sustituyendo la segunda expresión en la primera, se obtiene:
c2 = mxn + n2 ⇒ c2 = nx(m + n) = nxa ⇒ c2 = nxa
Ambos resultados:
b2 = mxac2; c2= nxa
Se conocen con el nombre de Teorema del cateto que se enuncia de la siguiente forma:
Explicación paso a paso: