Cuál término es nulo en la ecuación ordinaria de la circunferencia
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
La circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo C(a, b) que llamamos centro.
circunferencia
Por lo tanto, cada punto P(x, y) de la circunferencia satisface
\displaystyle d(C, P) = r
donde la distancia r se llama radio. Así, tenemos la siguiente
\displaystyle \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = r
Elevando al cuadrado la ecuación anterior, obtenemos:
\displaystyle (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
La ecuación anterior se conoce como ecuación ordinaria de la circunferencia. Para obtener la ecuación general debemos desarrollar los binomios al cuadrado:
\displaystyle x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2
Luego reagrupamos los términos de la siguiente manera:
\displaystyle x^2 + y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2 - r^2 = 0
Consideramos los siguientes cambios:
\displaystyle A = -2a \qquad B = -2b \qquad C = a^2 + b^2 - r^2
Por tanto, la ecuación de la circunferencia se puede escribir de la siguiente manera:
\displaystyle x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0
la cual se conoce como la ecuación general de la circunferencia. Aquí, el centro está dado por:
\displaystyle C\left( -\frac{A}{2}, -\frac{B}{2} \right)
y el radio satisface que:
\displaystyle r^2 = \left( \frac{A}{2} \right)^2 + \left( \frac{B}{2} \right)^2 - C = a^2 + b^2 - C
Es importante notar que la ecuación
\displaystyle x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0
debe satisfacer lo siguiente para que describa una circunferencia:
1 Se cumple la siguiente desigualdad
\displaystyle \left( \frac{A}{2} \right)^2 + \left( \frac{B}{2} \right)^2 - C > 0
2 No hay ningún término xy (es decir, x y y no se multiplican).
3 x^2 y y^2 tienen coeficiente 1.
Nota: que en caso de que x^2 y y^2 tengan coeficiente distinto a 1, entonces ambos deben tener el mismo coeficiente. De esta forma, podemos dividir la ecuación por este coeficiente para obtener la ecuación general de la circunferencia.
Nota: si el centro de la circunferencia coincide con el origen de las coordenadas, entonces la ecuación de la circunferencia (ya sea ordinaria o general) queda reducida a
\displaystyle x^2 + y^2 = r^2
la cual se conoce como ecuación canónica de la circunferencia.
Explicación paso a paso: