Cual son los tipos de factorizacion y como se hacen
Respuestas a la pregunta
Respuesta:TIPOS DE FACTORIZACIÓN.
Factorizar es descomponer una expresión algebraica en
un producto de sus términos. Los tipos de factorización son los siguientes:
1) Factorizar un Monomio:
En este busca los factores en los que se puede
descomponer el término.
24xy = 3 * 8 * x * y
2) Factor Común Monomio:
En este caso busca algún factor que se repita en
ambos términos.
Como puedes ver la literal (a) esta en los 2
términos, por lo tanto, ese será tu factor común.
a² + 2a = a (a + 2)
3) Factor Común Polinomio:
En este caso en ambos términos tu factor que se
repite es (a + b), entonces lo
puedes escribir de como el factor del otro binomio.
x (a + b) + m (a + b) = (x + m) ( a + b)
4) Factor Común por Agrupación de Términos:
En este caso se agrupan los términos
semejantes.
ax + bx + ay + by =
[ax + bx] + [ay + by] = x(a + b) + y(a + b) =
(x + y)(a + b)
5) Trinomio Cuadrado Perfecto m² + 2m + 1
Se es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la
siguiente regla:
El Cuadrado del 1er Termino ± 2 Veces el 1ro por
el 2do + el Cuadrado del 2do.
a² + 2ab + b² = (a + b)²
Factorizar: m² +2m +1 Checa la regla anterior si
cumple será un Trinomio cuadrado perfecto.
Sí, m² +2m +1 = (m + 1)², entonces se cumple con
la norma.
6) Diferencia de Cuadrados: a² - b²
De una diferencia de cuadrados obtendrás 2
binomios conjugados.
a² - b² = (a - b) (a + b)
7) Caso Especial de Diferencia de Cuadrados Perfectos:
Factorizar (a + b)² - c²
(a + b)² - c² =
[(a + b) + c] [(a + b) - c] =
(a + b + c) (a + b – c)
8) Trinomio de la Forma; x² + bx + c
Factorizar x² + 7x + 12
Hay que buscar 2 números que sumados me den 7 y
multiplicados me den 12
4 + 3 = 7
4 x 3 = 12
Entonces los acomodas como factores de la ecuación
cuadrática
(x + 4)(x + 3) que seria los mismo despejando a x:
x = - 4
x = - 3
9) Trinomio de la Forma; ax² + bx + c
Factorizar 6x² - x - 2
Los pasos que se deben realizar son los siguiente:
1ro) multiplica los términos de los extremos de tu
trinomio (6x²) (-2) = -12x²
2do) Basándote en el coeficiente del segundo término
(-x) = -1 y en el resultado del 1er paso, vamos a buscar 2 número que sumados
me den (-1) y multiplicados me den (-12x²)
3ro) esos números son (-4x) y (3x), sumados, me
dan (-1) y multiplicados me dan (-12x²)
4to) ahora acomoda dentro de un paréntesis el 1er
termino de tu trinomio con el 1er factor encontrado (-4), (6x² - 4x)
5to) acomoda el 2do factor encontrado (-3x) con el
3er termino de tu trinomio (-2); (3x-2)
6to) acomoda los 2 términos nuevos (6x² - 4x) +
(3x-2), encuentra algún termino común en cada uno
2x (3x - 2) + 1(3x-2), los términos comunes ponlos
en otro paréntesis y elimina un término de los 2 que tienes (3x-2),
Este será tu Factorización (2x+1)(3x-2),
10) Suma o Diferencia de Cubos: a³ ± b³
Suma de Cubos:
a³ + b³ = (a + b) (a² - 2ab + b²)
Se resuelve de la siguiente manera:
El binomio de la suma de las raíces de ambos
términos.
El cuadrado del 1er termino, - el doble del
producto de los 2 términos + el cuadrado del 2do termino.
Diferencia de Cubos:
a³ - b³ = (a - b) (a² + 2ab + b²)
Se resuelve de la siguiente manera:
El binomio de la resta de las raíces de ambos
términos.
El cuadrado del 1er termino, + el doble del
producto de los 2 términos + el cuadrado del 2do termino.
Explicación paso a paso:
1. Factor Común Monomio: La expresión a factorizar puede tener dos o más términos,
en la que todos tienen un factor en común (numérico y/o literal) que se repita.
Ejemplos:
a) 3 + 6m + 12m
2
= 3 (1 + 2m + 4m
2
)
b) 8x2
y – 4xy2
= 4xy (2x – y)
2. Factor Común Polinomio: La expresión a factorizar debe tener más de dos
términos, en la que todos tienen un polinomio (entre paréntesis) como factor común.
Ejemplos:
a) a(m + n) – b(m + n) = (m + n)(a – b)
b) 3x(x + y – z) – x – y + z = 3x(x + y – z) – (x + y – z)
= (x + y – z)(3x – 1)
3. Factor Común por Agrupación de Términos: Este tipo de expresión debe tener
4 o más términos (aumentando de 2 en 2), se agrupan en igual cantidad de términos,
de tal forma que haya factor común entre ellos.
Ejemplos:
a) x
3
+ x2
+ x + 1 = (x
3
+ x2
) + (x + 1)
= x
2
(x + 1) + (x + 1)
= (x + 1)(x2
+ 1)
4. Diferencia de Cuadrados Perfectos: Este tipo de expresiones tienen dos términos
separados por el signo de menos (–) y ambos términos tienen raíz cuadrada exacta.
Ejemplos:
a) x
2
– 16 = (x + 4)(x – 4)
b) 25a4
– 81b2
= (5a2
+ 9b)( 5a2
– 9b)
5. Suma de Cubos Perfectos: Este tipo de expresiones tienen dos términos
separados por el signo de más (+) y ambos términos tienen raíz cúbica exacta.
Ejemplos:
a) x
3
+ 125 = (x + 5)(x2
– 5x + 25)
b) 27a9
+ 8b6
= (3a3
+ 2b2
)( 9a6
– 6a3
b
2
+ 4b4
)
6. Diferencia de Cubos Perfectos: Este tipo de expresiones tienen dos términos
separados por el signo de menos (–) y ambos términos tienen raíz cúbica exacta.
Ejemplos:
a) x
3
– 64 = (x – 4)(x2
+ 4x + 16)
b) 27a3
– 8b3
= (3a – 2b)( 9a2
+ 6ab + 4b2
)
7. Trinomio Cuadrado Perfecto: Una vez ordenado el trinomio descendentemente,
el primero y último términos deben ser positivos y tener raíz cuadrada exacta. El
segundo término es el doble producto de estas raíces cuadradas.
Ejemplos:
a) x
2
+ 10x + 25 = (x + 5)
2
b) 4m2
– 20mn + 25n2
= (2m – 5n)
2
8. Trinomio de la Forma x2
+ bx + c: El primer término debe ser una letra elevada al
cuadrado y con coeficiente uno (1), el segundo término tiene la misma letra que el
primero con exponente uno y coeficiente cualquiera, positivo o negativo. El tercer
término debe ser independiente de la letra, puede ser positivo o negativo.
Ejemplos:
a) x
2
+ x – 72 = (x + 9)(x – 8)
b) x
2
– 5xy – 36y2
= (x – 9y)(x + 4y) >> Caso Especial <<
9. Trinomio de la Forma ax
2
+ bx + c: El primer término debe ser una letra elevada
al cuadrado y con coeficiente distinto de uno (1), el segundo término tiene la misma
letra que el primero con exponente uno y coeficiente cualquiera, positivo o negativo.
El tercer término debe ser independiente de la letra, puede ser positivo o negativo.
a) 15x
2
– 11x – 12 = (3x – 4)(5x + 3)
b) 20x6
+ 7x3
y – 6y2
= (4x3
+ 3y)(5x3
– 2y)