¿Cuál será la medida del ángulo formado por los planos L1: x-2y+3z+4=0 y L2: 3x-y+4z-1=0?
Respuestas a la pregunta
Muy fácil.
La forma de un plano es.
Ax+By+Cz+D=0
Donde
(A,B,C)
Es el vector normal al plano.
El producto punto o producto escalar tiene la forma
u•v=|u||v|cos(θ)
Además se puede calcular de la siguiente forma.
(a,b,c)•(d,e,f)=ad+be+cf
En el producto punto.
"θ" es el ángulo entre los dos vectores.
Con esto podemos concluir que para calcular el ángulo necesitamos dos vectores, los cuales los podemos obtener de cada ecuación del plano.
Nota: |u| es la magnitud del vector y se calcula como
u=(ux,uy,uz)
|u|=√(ux²+uy²+uz²)
Resolviendo el problema.
Nota: "n" es el vector normal del plano, y |n| es la magnitud del vector normal.
1)
L1: x-2y+3z+4=0
n=(1,-2,3)
|n1|=√14
L2: 3x-y+4z-1=0
n=(3,-1,4)
|n2|=√26
Ahora vamos a calcular el producto punto.
(1,-2,3)•(3,-1,4)=(1)(3)+(-2)(-1)+(3)(4)
(1,-2,3)•(3,-1,4)=3+2+12
(1,-2,3)•(3,-1,4)=17
n1•n2=17
Ahora vamos a usar la ecuación.
u•v=|u||v|cos(θ)
n1•n2=|n1||n2|cos(θ)
17=(√14)√(26)cos(θ)
17=√364cos(θ)
17/√364=cos(θ)
0.89104=cos(θ)
θ=arccos(0.89104)
θ=26.9955
θ≈27
Esa sería la respuesta, espero haberte ayudado.