Question

¿Cuál será la longitud de la sombra que proyecta un árbol de 20 m de altura cuando el sol se encuentre a una altura de 35°?.

Answer 1

La longitud de la sombra proyectada por el árbol es de aproximadamente 28.56 metros

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

La altura del árbol junto con el suelo donde este se asienta forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del árbol, el lado AC (b) que representa la longitud de la sombra proyectada por el árbol hasta cierto punto donde esta se extiende .Teniendo finalmente el lado AB (c) que es la longitud visual desde el punto donde culmina la sombra hasta el extremo superior del árbol visto con un ángulo de elevación al sol de 35°

Donde se pide hallar:

La longitud de la sombra proyectada por el árbol

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la altura del árbol y de un ángulo de elevación al sol de 35°

• Altura del árbol = 20 metros

• Ángulo de elevación = 35°

• Debemos hallar la longitud de la sombra proyectada por el árbol

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:

Como sabemos el valor del cateto opuesto al ángulo dado -que es la altura del árbol, y conocemos un ángulo de elevación al sol de 35° y debemos hallar la longitud de la sombra proyectada por el árbol - la cual es el cateto adyacente al ángulo dado del triángulo rectángulo determinaremos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Hallamos la longitud de la sombra que proyecta el árbol

Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α $\bold{\alpha =35^o}$

Planteamos

$\boxed{\bold { tan(35^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }$

$\boxed{\bold { tan(35^o) = \frac{ altura \ del \ arbol }{ sombra\ del \ arbol} } }$

$\boxed{\bold { sombra\ del \ arbol = \frac{ altura \ del \ arbol }{tan(35^o) } } }$

$\boxed{\bold { sombra\ del \ arbol = \frac{ 20\ m }{tan(35^o) } } }$

$\boxed{\bold { sombra\ del \ arbol = \frac{ 20\ m }{0.70020753821 } } }$

$\boxed{\bold { sombra\ del \ arbol= 28.56296 \ m } }$

$\textsf{Redondeando }$

$\large\boxed{\bold { sombra \ del \ arbol \approx 28.56 \ m } }$

Luego la longitud de la sombra proyectada por el árbol es de aproximadamente 28.56 metros

Se agrega gráfico para mejor comprensión del problema propuesto