Question

¿Cuál será el ángulo de elevación del sol con respecto al horizonte, si un edificio de 50m de altura proyecta una sombra de 20m de largo?

Answer 1

El ángulo de elevación al sol es de aproximadamente 68.20°

Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.

Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.

Representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del edificio, el lado AC (b) que representa la longitud de la sombra proyectada por el edificio -hasta determinado punto A en dónde esta culmina- y el lado AB (c) que es la longitud visual desde donde termina la sombra del edificio en A hasta la cima del edificio con un ángulo de elevación al sol α el cual es nuestra incógnita

Donde se pide hallar:

El ángulo de elevación al sol con respecto al horizonte

Esto se puede observar en al gráfico adjunto

Conocemos la altura del edificio y de la longitud de la sombra que este proyecta

• Altura del edificio = 50 metros

• Longitud de la sombra = 20 metros

• Debemos hallar el valor del ángulo α de elevación al sol

Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente

Como sabemos el valor del cateto opuesto -que es la altura del edificio- y conocemos la longitud de la sombra que proyecta el edificio, hasta cierto punto A donde esta culmina -la cual es el cateto adyacente del triángulo rectángulo y debemos determinar el ángulo de elevación al sol con respecto al horizonte; hallaremos nuestra incógnita mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α

Hallamos el ángulo de elevación al sol con respecto al horizonte

Planteamos

$\boxed { \bold { tan(\alpha ^o) = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto \ adyacente } = \frac{a}{b} }}$

$\boxed { \bold { tan(\alpha ^o) = \frac{altura \ del\ edificio }{longitud \ sombra \ edificio } = \frac{a}{b} }}$

$\boxed { \bold { tan(\alpha ^o)= \frac{a}{b} }}$

$\boxed { \bold { tan(\alpha ^o )= \frac{50 \not m }{ 20\not m } }}$

$\textsf{Aplicamos la inversa de la tangente }$

$\boxed { \bold {\alpha = arc tan \left( \frac{50 }{20 }\right) }}$

$\boxed { \bold {\alpha = arc tan ( 2.5 ) }}$

$\boxed { \bold {\alpha = 68.19859 ^o }}$

$\large\boxed { \bold {\alpha = 68.20^o }}$

El valor del ángulo de elevación al sol es de aproximadamente 68.20°