¿Cual lejos caera por debajo de una trayectoria inicial en linea línea recta un proyectil en un segundo?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Explicación:Ecuación de la trayectoria
Se dispara un proyectil de masa m desde una distancia r0=R+h del centro de la Tierra, con velocidad v0 haciendo un ángulo φ con el radio vector. El momento angular y la energía del proyectil son, respectivamente
La ecuación de la trayectoria en coordenadas polares es
Si la energía del proyectil es negativa E<0 su trayectoria es una elipse, su excentricidad ε<1.
Conocido d y ε, se calcula el semieje mayor a, que es la media aritmética de los radios mínimo (θ=0) y máximo (θ=π) de la elipse.
La semidistancia focal, c=ε·a
El semieje menor b de la elipse
Velocidad del proyectil en el punto de impacto
Como la energía es constante en todos los puntos de la trayectoria, la velocidad v con la que impacta el proyectil en la superficie de la Tierra es independiente de la masa m del proyectil y del ángulo de disparo. Se obtiene poniendo r=R (radio de la Tierra) en la ecuación de la energía, y despejando la incógnita v
Tiempo de vuelo
Para calcular el tiempo de vuelo, vamos a utilizar el mismo procedimiento que empleamos para deducir la fórmula del periodo de un planeta, a partir de la ley de las áreas. El momento angular en coordenadas polares se escribe
Integrando
El primer miembro, es el área barrida por el radio vector cuando se mueve desde la posición angular θ, a la posición θ=π. Despejando t se obtiene.
Vamos ahora a estudiar los distintos casos que se pueden presentar
El ángulo de disparo es φ=0º.
El momento angular L=0, por lo que la trayectoria es una línea recta que pasa por el centro de fuerzas. El proyectil asciende y luego cae hacia la Tierra a lo largo de la dirección radial.
La máxima altura que alcanza, se calcula poniendo v=0 en la ecuación de la energía y se despejando la incógnita r.
No podemos calcular de forma simple el tiempo que tarda el proyectil en impactar sobre la superficie de la Tierra ya que la aceleración no es constante.
Ejemplo
Lanzamos un proyectil desde la altura h=6000 km con velocidad inicial v0= 4500 m/s en la dirección radial r0=6.0·106+6.37·106 m
La altura máxima que alcanza el proyectil es h=18.03·106 -6.37·106=11.66·106 m
La velocidad con la que llega a la superficie de la Tierra es v=8999.6 m/s
El ángulo de disparo es φ=180º.
El momento angular L=0, por lo que la trayectoria es una línea recta que pasa por el centro de fuerzas. El proyectil desciende a lo largo de la dirección radial hasta que llega a la superficie de la Tierra con la misma velocidad que hemos calculado en el apartado anterior.
Ejemplo
Lanzamos un proyectil desde la posición r0=6.0·106+6.37·106 m con velocidad inicial v0= 4500 m/s en la dirección radial y sentido hacia el centro de la Tierra
La velocidad con la que impacta sobre la superficie de la Tierra es v=8999.6 m/s
El ángulo de disparo es φ=90º.
Alcance máximo
El alcance máximo se produce cuando el perigeo es R, y el apogeo es r0=h+R.
Como el momento angular y la energía son constantes en todos los puntos de la trayectoria y en particular, en el perigeo y en el apogeo, tenemos que
Los datos son r0 y R y las incógnitas v y v0. La velocidad de disparo es
Ejemplo: Sea h=6000 km o bien, la distancia a lo largo de la dirección radial es r0=12.37·106 m
Calculamos la velocidad de disparo, v0=4681.969 m/s
El semieje mayor de la elipse es a=(R+r0)/2=14.37·106 m
El tiempo de vuelo es la mitad del periodo
t=P/2=4512 s
Posición del punto de impacto
Como vemos en la figura, el proyectil sale de la posición θ=π, e impacta en la posición θ=π-α cuando r=R.
Poniendo r=R en la ecuación de la trayectoria, despejamos el ángulo θ.
Ejemplo:
Continuando con los mismos datos de los casos anteriores:
Distancia radial del disparo r0=12.37·106 m
Velocidad inicial v0= 4500 m/s
Angulo de disparo φ=90º.
Obtenemos los valores del momento angular y de la energía del proyectil
L=5.57·1010 m kgm2/s
E=-22.12·106 m J
Conocida la energía y el momento angular, se determina la ecuación de la trayectoria, el valor del parámetro d y la excentricidad ε
ε=0.372
d=7.77·106 m
Con estos datos, poniendo r=6.37·106 m en la ecuación de la trayectoria obtenemos el ángulo θ=0.934 rad.
La distancia angular entre el punto de impacto y la posición de disparo es
α=π-0.934=2.20 rad
Denominado alcance a la longitud del arco s de circunferencia de la Tierra que corresponde a esta distancia angular, s=R·α=14.03·106 m
Tiempo de vuelo
El área sombreada es el área barrida por el radio vector entre las posiciones angulares θ y π. En otras palabras, es la porción de elipse comprendida entre x y a menos el área del triángulo de base R·cosθ y altura R·senθ, siendo x=-c-R·cosθ
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