Question

Cuál es la relación entre la factorización y las expresiones racionales

Answer 1

Respuesta:

El área de un rectángulo es 2x4−2 . El ancho de un rectángulo es x2+1 . ¿Cuál es el largo del rectángulo?

Orientación

Recuerda que una función racional es una función, f(x) , esto es f(x)=p(x)q(x) , donde p(x) y q(x) son polinomios. Una expresión racional es, simplemente p(x)q(x) . Como cualquier fracción, una expresión racional puede simplificarse. Para simplificar una expresión racional, necesitarás factorizar los polinomios, determinar si algún factor es igual a otro y luego, cancelar todos los factores similares.

Fracción: 915=3⋅33⋅5=35

Expresión Racional: x2+6x+9x2+8x+15=(x+3)(x+3)(x+3)(x+5)=x+3x+5

En ambas fracciones separamos el numerador y el denominador en una factorización de primos. Luego, cancelamos los factores comunes.

Nota Importante: x+3x+5 está factorizado completamente. No canceles las x . 3x5x se reduce a 35 , pero x+3x+5 no lo hace debido al signo de suma. Para probar esto, reemplazaremos un número por x para demostrar que la fracción no se reduce a 35 . Si x=2 , entonces 2+32+5=57≠35 .

Ejemplo A

Simplifica 2x34x2−6x .

Solución: Los factores del numerador son 2x3=2⋅x⋅x⋅x y el denominador es 4x2−6x=2x(2x−3) .

2x34x2−6x=2⋅x⋅x⋅x2⋅x⋅(2x−3)=x22x−3

Ejemplo B

Simplifica 6x2−7x−32x3−3x2 .

Solución: Si necesitas revisar la factorización, ve a la sección Factorización de Cuadráticos Cuando el Coeficiente Principal es 1 y a la sección Factorización de Cuadráticos Cuando el Coeficiente Principal no es 1. Si no, factoriza el numerador y encuentra el MCD del denominador y cancela los términos similares.

6x2−7x−32x3−3x2=(2x−3)(3x+1)x2(2x−3)=3x+1x2

Ejemplo C

Simplifica x2−6x+272x2−19x+9 .

Solución: Factoriza la parte superior y la inferior y ve si hay algún factor común.

x2−6x+272x2−19x+9=(x−9)(x+3)(x−9)(2x−1)=x+32x−1

Nota Especial: No todos los polinomios de una función racional serán factorizables. Algunas veces no hay factores comunes. Cuando esto sucede, escribe “no factorizable.”

Revisión del Problema Introductorio

Recuerda que el área de un rectángulo es el largo multiplicado por el ancho. Por lo tanto, para encontrar el largo, podemos dividir el área por el ancho. Así que estamos buscando 2x4−2x2+1 .

Si factorizamos el numerador y el denominador, tenemos:

2x4−2x2+12(x4−1)x2+22(x2+1)(x2−1)x2+12(x2−1)=2x2−2

Por lo tanto, el largo del rectángulo es 2(x2−1)=2x2−2 .

Práctica Guiada

Si es posible, simplifica las siguientes funciones racionales.

1. 3x2−x3x2

2. x2+6x+8x2+6x+9

3. 2x2+x−106x2+17x+5

4. x3−4xx5+4x3−32x

Respuestas

1. 3x2−x3x2=x(3x−1)3⋅x⋅x=3x−13x

2. x2+6x+8x2+6x+9=(x+4)(x+2)(x+3)(x+3) No hay factores comunes, así que este se reduce.

3. 2x2+x−106x2+17x+5=(2x+5)(x−2)(2x+5)(3x+1)=x−23x+1

4. En este problema, el denominador se factorizará igual que una cuadrática una vez que se saque una x de cada uno de los términos.

x3−4xx5+4x3−32x=x(x2−4)x(x4+4x2−32)=x(x−2)(x+2)x(x2−4)(x2+8)=x(x−2)(x+2)x(x−2)(x+2)(x2+8)=1x2+8

Vocabulario

Expresiones Racionales

Una fracción con polinomios en el numerador y el denominador.

Práctica

¿ x−2x−6 se simplifica a 13 ? Explica por qué o por qué no.

¿ 5x10x se simplifica a 12 ? Explica por qué o por qué no.

Explica, en tus propias palabras, la diferencia entre las dos expresiones anteriores y por qué una se simplifica y la otra no.

Simplifica las siguientes funciones racionales.

4x32x2+3x

x3+x2−2xx4+4x3−5x2

2x2−5x−32x2−7x−4

5x2+37x+145x3−33x2−14x

8x2−60x−32−4x2+26x+48

6x3−24x2+30x−1209x4+36x2−45

6x2+5x−46x2−x−1

x4+8xx4−2x3+4x2

6x4−3x3−63x212x2−84x

x5−3x3−4xx4+2x3+x2+2x

−3x2+25x−8x3−8x2+x−8

−x3+3x2+13x−15−2x3+7x2+20x−25

Explicación paso a paso: