Question

Cual es la raíz cuadrada de 3 dividido entre 1

Answer 1

 ¿Cuál es la raíz cúbica de 3? No lo sabemos, por lo tanto, es una incógnita, que llamaremos x, 
. ._ 
∛3 = x 

elevando al cubo toda la igualdad resulta: 

3 = x³ 

Restando 3 a cada miembro resulta: 

0 = x³ – 3 

es decir, 

x³ – 3 = 0 

Un teorema dice que, todas las ecuaciones de la forma 

x³ + a = 0 .............. ❶ 

en donde a es un número real, tienen una raíz real y dos complejas conjugadas, y que la real vale: 
.. . . . .___ 
x₁ = ∛ – a 

aplicando a nuestro caso: 

.. . . . ._____ 
x₁ = ∛ – (– 3) 

.. . . . .__ 
x₁ = ∛ 3 ≈ 1,44224957... 

Continúa el teorema diciendo que, las otras dos raíces se obtienen buscando las raíces del trinomio de 2.º grado que resulta de dividir la expresión ❶ entre x – x₁ . 

Aplicación de esto último: 

. . . 1. . . 0. . . 0. . . . –3 
. . . . . .∛3 . . ∛9 . . .3 

∛3----------------------------- 
. . .1. . ∛3. ∛9. . . // 0 

Luego el trinomio de 2.º grado es: 
. . . . . _. . ... ._ 
x² + ∛3 x + ∛9 = 0 

Resolviendo, 

..........._....__________ 
.....– ∛3±√ ∛9–4•1•∛9 
x₂,₃ = ------------------------ 
............... 2 • 1 

..........._....._____ 
.....– ∛3± i√ 3 ∛9 
x₂,₃ = ---------------- 
............... 2 

.................__...........____ 
x₂ = –0,5 ∛3 + i 0,5√ 3∛9 

.................__...........____ 
x₃ = –0,5 ∛3 – i 0,5√ 3∛9 

En resumen: 
no hay una única respuesta a tu pregunta: 
no sólo 1,44224957... es una raíz cúbica de 3, sino también las dos complejas conjugadas que acabamos de ver. 


Otra manera de hacerlo: 

Escribimos 3 en forma polar, luego polar con todos sus argumentos: 

3 ⇒ 3 
. . . . .2πk 

Busquemos las raíces cúbicas de 3: 
. .___ 
∛3. . . = s ⇒ 
. . 2πk. . .β 

3. . . = s³ 
.2πk. . 3β 

CÁLCULO DEL MÓDULO s 
.... . . . . . . . . .__ 
3 = s³ ⇒ s = ∛3 

CÁLCULO DE LOS ARGUMENTOS 

Hay infinitos, pero esencialmente distintos sólo hay tres, para sendas tres raíces cúbicas que tiene el número natural 3. 

2π 
---- • k = β 
3 

k = 0 ⇒ β = 0 

k = 1 ⇒ 

. . . 2π 
β = ---- 
. . . 3 

k = 2 ⇒ 

. . . 4π 
β = ---- 
. . . 3 

LAS RAÍCES CÚBICAS DE 3, 
EXPRESADAS EN FORMA POLAR: 

(∛3)₀ 

(∛3) 
. . . 2π 
. . . ----- 
. . . . 3 

(∛3) 
. . . 4π 
. . . ----- 
. . . . 3