Question

¿Cuál es la mínima rapidez de un electrón atrapado en un pozo cuadrado con profundidad infinita de 0.48 nm de ancho?

Answer 1

Para resolver este problema de pozo infinito, aplicamos la Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en una dimensión. Nos queda:

$\frac{h^2}{8\pi^2 m}\nabla^2\psi(x)+E\psi(x)=0\\\\-\frac{h^2}{8\pi^2 m}\nabla^2\psi(x)=E\psi(x)$

Donde h es la constante de Planck, $\psi$ es la función de onda estacionaria, y E es la energía de la partícula. Ahora como es un pozo infinito la onda se anula fuera de él de modo que tenemos las siguientes condiciones de contorno:

$\left \{ {{\psi(0)=0} \atop {\psi(L)=0}} \right.$

Donde L es el ancho del pozo, como es cuadrado, L será el ancho en las dos dimensiones.

La ecuación diferencial homogenea a coeficientes constantes queda:

$\frac{h^2}{8\pi^2 m}(\frac{d^2\psi}{dx^2})+E\psi(x)=0$

Proponemos como solución:

$\psi(x)=e^{\alpha x}$

Reemplazamos:

$\frac{h^2}{8\pi^2 m}(\alpha^2e^{\alpha x})+Ee^{\alpha x}=0\\\frac{h^2}{8\pi^2 m}(\alpha^2)+E=0$

Resolviendo queda:

$\alpha=\sqrt{-\frac{8\pi^2 mE}{h^2}} =\ñj\sqrt{\frac{8\pi^2 mE}{h^2}}$

Con lo que nuestra función de onda es:

$\psi(x)=(C_1e^{j\sqrt{\frac{8\pi^2 mE}{h^2}}}x+C_2e^{-j\sqrt{\frac{8\pi^2 mE}{h^2}}x})$

Si tenemos en cuenta que:

$\psi(0)=(C_1e^{j\sqrt{\frac{8\pi^2 mE}{h}}0}+C_2e^{-j\sqrt{\frac{8\pi^2 mE}{h}}0})=0\\C_1=-C_2$

Aplicando la Identidad de Euler:

$\psi(x)=(C_1e^{j\sqrt{\frac{8\pi^2 mE}{h}}x}-C_1e^{-j\sqrt{\frac{8\pi^2 mE}{h}}x})\\\psi(x)=2C_1sen(\sqrt{\frac{8\pi^2 mE}{h}}}x)$

Ahora la integral de la densidad de probabilidad a lo largo de todo el pozo tiene que ser 1:

$1=\int\limits^\infty_{-\infty} {|\psi^2(x)|} \, dx =4C_1^2\int\limits^L_0 {sen^2(kx)} \, dx =4C_1^2.\frac{L}{2}\\2C_1=\sqrt{\frac{2}{L}}$

La función queda:

$\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}sen(\sqrt{\frac{8\pi^2 mE}{h^2}}}x)\\Pero\\\psi(L)=0=> \sqrt{\frac{8\pi^2 mE}{h^2}}}L=n\pi, n\epsilon Z$

De la última condición salen las autofunciones:

$\psi(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}sen(\frac{n\pi}{L}}x)$

Y los autovalores que son los únicos valores permitidos para la energía:

$\sqrt{\frac{8\pi^2 mE}{h^2}}}L=n\pi\\\\\sqrt{\frac{8\pi^2 mE}{h^2}}}=\frac{n\pi}{L}\\\\\frac{8\pi^2 mE}{h^2}}=\frac{n^2\pi^2}{L^2}\\\\E=\frac{n^2\pi^2h^2}{8\pi^2 mL^2}=\frac{n^2 h^2}{8 mL^2}$

El valor mínimo para la energía es para n=1, si consideramos que toda la energía es cinética, y que la masa del electrón es $9,11x10^{-31}kg$ tenemos:

$E=\frac{n^2 h^2}{8 mL^2}\\\\E=\frac{1}{2}mv^2\\\\v=\sqrt{\frac{2\frac{n^2 h^2}{8 mL^2}}{m}}=\sqrt{\frac{n^2 h^2}{4 m^2L^2}}=\frac{n h}{2mL}=\frac{1. 6,62x10^{-34}Js}{2.9,11x10^{-31}kg.4,8x10^{-10}m}=7,57x10^5\frac{m}{s}$

Con lo que la mínima rapidez para el electrón atrapado en un pozo infinito de 0,48nm de ancho es de $7,57x10^{5} \frac{m}{s}$