Question

¿Cuál es la longitud de la mediana trazada desde el vértice A del triángulo con vértices A(-4, 1) B(6, 7) y C(2,-1)?​
SOLO CONTESTAR SI LO SABEN, PORFA

Answer 1

La longitud de la mediana trazada desde el vértice A del triángulo dado es de 8.25 unidades

Dados los vértices de un triángulo en el plano cartesiano se pide determinar la longitud de la mediana que parte del vértice A de la figura.

Por tanto llevamos el problema al plano cartesiano donde trazamos el triángulo con vértices A (-4,1), B (6,7) y C (2,-1)

Donde sabemos que las medianas de un triángulo son los tres segmentos que unen cada uno de los vértices del triángulo con el punto medio del lado opuesto

Solución

Como se pide determinar la longitud de la medida trazada desde el vértice A cuyas coordenadas son (-4,1), luego debemos hallar el punto medio del lado opuesto a tal vértice, es decir el lado BC del triángulo

Hallamos el punto medio del lado BC del triángulo

Luego encontraremos las coordenadas del punto medio para el lado BC del triángulo de extremos B (6,7) y C (2,-1)

Empleamos la fórmula del punto medio para hallar el punto medio del lado BC

$\large\boxed{\bold { Punto \ medio\ \overline{BC} = \left(\frac{x_{1} + x_{2} }{2}\ , \frac{y_{1} + y_{2} }{2} \right)}}$

Donde

$\large\boxed{\bold { B ( 6,7) \ \ \ C(2,-1 ) }}$

Reemplazamos los valores para $(x_{1} ,y_{1} ) \ y \ (x_{2} ,y_{2} )$

$\boxed{\bold { Punto \ medio\ \overline{BC} = \left(\frac{6+2 }{2} \ , \frac{7+(-1 ) }{2} \right)}}$

$\boxed{\bold { Punto \ medio\ \overline{BC} = \left(\frac{6+2 }{2} \ , \frac{7-1 }{2} \right)}}$

$\boxed{\bold { Punto \ medio\ \overline{BC} = \left(\frac {8 }{2} , \frac{ 6 }{2} \right)}}$

$\large\boxed{\bold {Punto \ medio\ \overline{BC} = ( 4,3 ) }}$

Denotamos al punto medio del lado BC como A', por lo tanto el punto medio del lado BC resulta ser el par ordenado A'(4,3)

Habiendo hallado el punto medio del lado BC: $\bold{A' (4,3)}$

Determinamos la longitud de la mediana solicitada.

Sabiendo que la mediana pedida parte del vértice con coordenadas A (-4,1) hasta el punto medio del lado opuesto el cual es BC

Siendo el punto medio del lado el que ha sido determinado en el inciso anterior con coordenadas A' (4,3)

Por tanto hallaremos la longitud de la mediana del triángulo solicitada comprendida por los puntos A (-4,1) y A' (4,3)

Hallamos la longitud de la mediana del triángulo solicitada

Empleamos la fórmula de la distancia para determinar la longitud de la mediana

$\large\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }$

Donde

$\large\boxed{\bold { A ( -4,1) \ \ \ A'(4,3 ) }}$

Sustituimos los valores de los puntos en la fórmula de la distancia

$\boxed{ \bold { Longitud \ Mediana = \sqrt{(4-(-4) )^{2} +(3-1 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold { Longitud \ Mediana = \sqrt{(4+4 )^{2} +(3-1 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold {Longitud \ Mediana = \sqrt{(8 )^{2} +(2 )^{2} } } }$

$\boxed{ \bold {Longitud \ Mediana = \sqrt{64+4 } } }$

$\boxed{ \bold {Longitud \ Mediana = \sqrt{68 } } }$

$\boxed{ \bold {Longitud \ Mediana =8.246211 \ unidades } }$

$\large\boxed{ \bold { Longitud \ Mediana = 8.25 \ unidades } }$

La longitud de la mediana trazada desde el vértice A del triángulo dado es de 8.25 unidades

Se adjunta gráfico