Question

¿Cuál es la interpretación geométrica de la derivada de una función f en el numero xi?

¿Es posible que una función sea diferenciable en un número y no sea continua en ese número? Justificar

¿Por qué es más importante ahora la derivada numérica que antes del advenimiento de las computadoras electrónicas?

¿Cómo se puede apoyar en la graficadora la derivada de una función calculada analíticamente?

Answer 1

• Consideramos una curva  $y = f(x)$, luego el punto $P(x_{0}, f(x_{0}))$ que pertenece a la curva. Si colocamos una recta tangente a dicha curva en el punto mencionado, tendremos la ecuación de la recta: $Lt : y - f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0)$ la asemejamos a la ecuación general de la recta: $L : y - f(x) = m (x - x_0)$, nos damos cuenta que la pendiente "m" es igual a decir " f'($x_0$) ". Por lo tanto se llega a lo siguiente: La derivada es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto $(x_0,y_0)$.

• Para contestar eso acudiremos a las derivadas laterales que nos dejan comprender mejor la relación entre derivabilidad y continuidad:

     Sean f: F → R una función real de variable real y a ∈F∩F'  

   (i) Si a∈(F(a)-) y f es derivable por la izquierda en a →  $\lim_{x \to \\a^-} f(x)=f(a)$

   (ii) Si a∈(F(a)+) y f es derivable por la derecha en a → $\lim_{x \to \\a^+} f(x)=f(a)$

   (iii) Como consecuencia, si a ∈ (F(a)-)∩(F(a)+) y f es derivable por la izquierda y por la derecha en a, entonces f es continua en a, aunque puede ocurrir que las derivadas laterales no coincidan.

Esto último quiere decir que toda función diferenciable es contínua, pero no toda funcion contínua es diferenciable.

• El análisis matemático es importante pues es la base estructural de los programas informáticos (simuladores, estadísticos, modeladores) que realizan operaciones más complejas en computadora.
• Las gráficas pueden servir como complemento de los cálculos que se hacen, para comprobar si estamos haciendo un buen trabajo en el papel. Estos programas han sido diseñados con la mera finalidad de enseñar matemáticas.