Question

Cual es La Hipotesis del Teorema de pitagoras Necesito Informacion

Answer 1

 

 

 

                Hipótesis. Para todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa –lado frente al ángulo recto (de 90°)– es igual a la suma de los cuadradosde los catetos –los lados restantes–.

 

Expresado con símbolos de acuerdo a la figura, se tiene como hipótesis

 

MN2=NQ2+MQ2, para ΔMNQ,

NQ2=NP2+PQ2, para ΔNPQ, y

MQ2=MP2+PQ2, para ΔMPQ,

 

porque los triángulos citados son rectángulos. Siendo sus dimensiones arbitrarias, la demostración será válida para todos los triángulos rectángulos, como la hipótesis enuncia. Se subraya a los segmentos de recta para expresar que se está calculando de acuerdo a su longitud.

 

Asimismo, se cuenta con la

 

Tesis. Los ángulos ∡MQP y ∡MNQ son iguales;

también los ángulos ∡NQP y ∡PMQ lo son.

 

Esto porque, según la figura, para el triángulo ΔMNQ,∡MQP+∡NQP=90°. Luego, para ΔNPQ, ∡MNQ+∡NQP+∡NPQ=180°porque la suma de los ángulos internos de un triángulo suman siempre180°. No obstante, ∡NPQ=90°, pues ΔNPQ es un triángulo rectángulo. Entonces, ∡MNQ+∡NQP+90°=180°, o bien, ∡MNQ+∡NQP=90°.

 

De todo ello,

 

 ∡MQP+∡NQP-(∡MNQ+∡NQP)=90°-(∡MNQ+∡NQP)=90°-90°=0°

 

y reduciendo términos semejantes, queda ∡MQP-∡MNQ=0°, es decir,∡MQP=∡MNQ, que es finalmente la observación hecha por la tesis. Con argumentos similares es posible deducir ∡NQP=∡PMQ.

 

Para simplificar la expresión de los ángulos, será en adelante∡MQP=∡MNQ=α.

 

 

DEMOSTRACIÓN

 

1. MN2=NQ2+MQ2, considerando que la hipótesis sea verdadera.

2. (MP+NP)2=NQ2+MQ2, porque el segmento MN es igual a la suma de sus partes, MP y NP.

3. MP2+2·MP·NP+NP2=NQ2+MQ2, desarrollando el binomio cuadrado.

4. MP2+2·MP·NP+NP2=(NP2+PQ2)+(MP2+PQ2), porque siendo verdadera la hipótesis, NQ2 y MQ2 son expresados en términos de la suma de sus partes.

5. MP·NP=PQ2, reduciendo términos semejantes.

6. MP/PQ=PQ/NP, válido por la expresión anterior.

 

Como, de acuerdo con la tesis, MP/PQ=tan(α) para ΔMPQ, yPQ/NP=tan(α) para ΔMPQ,

 

7. tan(α)=tan(α), lo cual es realmente verdadero.

 

Así, obteniendo una expresión realmente verdadera partiendo de que la hipótesis era verdadera, debe ser esta última correcta.