Question

Cuál es la ecuación general de la circunferencia que tiene como centro C (1, -3) y es tangente a la recta 2x -5y -3 = 0

Answer 1

Respuesta:

$x^2+y^2-2x+6y+\dfrac{94}{29} =0$

Explicación paso a paso:

Ecuación canónica de la circunfencia

$(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$

$h$ y $k$ son las cordenadas del centro y $r$ es el radio.

$(x-1)^2+(y+3)^2=r^2$

el radio de la circunferencia es la distancia del centro a la recta, que se calcula con la siguiente fórmula.

$P(x_1,y_1)$ a recta $Ax+By+C=0$

$d=\left | \dfrac{A(x_1)+B(y_1)+C}{\sqrt{A^2+B^2} } \right|$

remplazo los datos en la fórmula.

$C(1,-3)$ a recta $2x-5y-3=0$

$d=\left | \dfrac{2(1)+-5(-3)+-3}{\sqrt{2^2+(-5)^2} } \right|\\\\d=\left | \dfrac{2+15-3}{\sqrt{4+25} } \right|\\\\d=\left | \dfrac{14}{\sqrt{29} } \right|\\\\d=\dfrac{14}{\sqrt{29} }$

entonces.

$(x-1)^2+(y+3)^2=\left(\dfrac{14}{\sqrt{29} } \right)^2$

paso la ecuación a la forma general.

$(x^2-2x+1)+(y^2+6y+9)=\dfrac{14^2}{(\sqrt{29})^2 }\\\\x^2-2x+1+y^2+6y+9=\dfrac{196}{29} \\\\x^2-2x+y^2+6y+10-\dfrac{196}{29} =0\\\\x^2-2x+y^2+6y+\dfrac{290}{29} -\dfrac{196}{29} =0\\\\x^2+y^2-2x+6y+\dfrac{94}{29} =0$