Question

Cuál es la ecuacion de lugar geométrico descrito por la trayectoria de un helicoptero que se mantiene sobrevolando un edificio a una distancia horizontal de 50 m de este, realizando un simulacro de vigilancia? ¿ en que punto del edificio se supone que esta el centro de la circunferencia que describe el helicoptero? .. si el edifico tuviera 12 m de frente por cada calle y el centro de la nueva trayectoria circunferencia estuviese en un punto de la esquina, ¿cuál sería la ecuacion?

Answer 1

La ecuación del lugar geométrico descrito por la trayectoria del helicóptero está dada por la siguiente ecuación:

$\boxed {\bold { x^2\ + \ y ^2= \ 2500 }}$

En donde el centro de la circunferencia que describe el helicóptero tiene su centro en C = (0,0)

Si el edificio tuviera 12 metros de frente por cada calle y el centro de la nueva trayectoria circunferencial estuviese en un punto de la esquina la ecuación sería la siguiente:

$\boxed {\bold { (x-6)^2+( y +6)^2= \ 2500 }}$

Procedimiento:

En este ejercicio se plantean dos situaciones

Primera Situación

El helicóptero al estar sobrevolando el edificio a una distancia horizontal de 50 metros en la maniobra de simulacro, está observando al edificio desde arriba sin variar su distancia respecto a este. Por lo tanto esa distancia es equivalente al radio de la circunferencia, la cual es para este caso de 50 metros

Donde se toma al edificio como centro

La ecuación del lugar geométrico descrito por la trayectoria del helicóptero que sobrevuela al edificio se relaciona con una ecuación de la circunferencia con centro en el edificio por lo tanto

Si la ecuación de la circunferencia está dada por  

$\boxed {\bold { (x-h)^2+( y -k)^2=r^{2} }}$

Donde la variable r representa el radio del círculo, h representa la distancia X desde el origen y k representa la distancia Y desde el origen

Donde h = 0, k = 0, y r = 50

$\boxed {\bold { (x-h)^2+( y -k)^2=r^{2} }}$

$\boxed {\bold { (x-0)^2+( y -0)^2=50^{2} }}$

$\boxed {\bold { x^2\ + \ y ^2=50^{2} }}$

$\boxed {\bold { x^2\ + \ y ^2= \ 2500 }}$

Con centro en

$\boxed {\bold { Centro = (0,0) }}$

Que es donde se encuentra el centro del edificio

Concluyendo que el centro de la circunferencia que describe el helicóptero tiene su centro en C = (0,0) que resulta ser el centro del edificio

Segunda Situación

Si el edificio tuviera 12 metros de frente por cada calle y el centro de la nueva trayectoria circunferencial estuviese en un punto de la esquina,

Se estaría trazando un cuadrado con las magnitudes dadas dentro de la circunferencia y en el plano cartesiano cuyo centro sigue siendo el centro del edificio que se ubica en C=(0,0)

Luego el edificio está en el centro de la circunferencia. O su parte central lo está

Si el centro de la nueva circunferencia va a estar en un punto de la esquina del cuadrado que representan los 12 metros de frente del edificio por cada calle

Donde se puede elegir cualquier esquina como centro para la nueva circunferencia

No es más que una traslación de la circunferencia original. En dónde su radio sigue siendo el mismo, es decir 50 metros

Donde se tenía para la primera situación (h, k) = (0,0)

Por lo tanto partiendo del centro C = (0,0), que es donde se centra la circunferencia se traza un cuadrado alrededor del origen en donde nos movemos la mitad del lado del cuadrado en el eje horizontal hacia la izquierda y hacia la derecha, luego en cada uno de esos dos puntos nos movemos hacia arriba y hacia abajo en la mitad del lado del cuadrado obteniendo de este modo las coordenadas del vértice de la figura

Entonces para la segunda situación se tiene  (h, k) =  (6, -6)

Empleamos la ecuación de la circunferencia para determinar la ecuación pedida

$\boxed {\bold { (x-h)^2+( y -k)^2=r^{2} }}$

$\boxed {\bold { (x-6)^2+( y +6)^2= 50^{2} }}$

$\boxed {\bold { (x-6)^2+( y +6)^2= \ 2500 }}$