Question

cuál es la ecuación de la parábola con vértice en (2,1) y foco (-2, 1)

Answer 1

La ecuación ordinaria o canónica de la parábola solicitada está dada por:

$\large\boxed{ \bold { (y-1 )^2= -16\ (x-2) }}$

La ecuación de la parábola en la forma general está dada por:

$\large\boxed{ \bold { y^2+16x -2y -31 = 0}}$

Datos:

$\bold{V (2,1)}$

$\bold{F (-2,1)}$

Hallamos la ecuación en la forma ordinaria o canónica de la parábola con V (2,1) y F (-2,1)

Dado que los valores de las coordenadas en y o de las ordenadas son los mismos para el vértice y el foco,

Empleamos la ecuación de la parábola en su forma ordinaria o canónica con vértice fuera del origen y eje de simetría paralelo al eje X

Es decir para una parábola que se abre hacia la izquierda o hacia la derecha

La cual está dada por la siguiente ecuación:

$\large\boxed{ \bold { (y-k)^2= 4p\ (x-h) }}$

Hallamos la distancia focal |p|

Donde este parámetro nos señala la distancia entre el foco y el vértice

$\bold { p = -2-2 }$

$\boxed {\bold { p = -4 }}$

Dado que p < 0 la parábola abrirá hacia la izquierda

Sabemos que el vértice de la parábola dada es:

$\boxed {\bold { V (2,1) }}$

$\bold {h = 2}$

$\bold {k = 1}$

Reemplazamos los valores conocidos en la forma:

$\large\boxed{ \bold { (y-k)^2= 4p\ (x-h) }}$

$\bold { (y-(1) )^2= 4 \ . \ (-4)\ (x- (2)) }$

$\large\boxed{ \bold { (y-1 )^2= -16\ (x-2) }}$

Habiendo obtenido la ecuación ordinaria o canónica de la parábola solicitada

Hallamos la ecuación de la parábola en la forma general

La forma general de la ecuación de una parábola que abre a la izquierda o a la derecha, también llamada parábola horizontal está dada por:

$\large\boxed {\bold {A y^{2}+ Bx+ Cy+ D = 0 }}$

Donde la ecuación general de una parábola se obtiene a partir de su ecuación en la forma ordinaria o canónica, desarrollando el binomio y simplificando la expresión

$\boxed{ \bold { (y-1 )^2= -16\ (x-2) }}$

$\bold { y^2-2y +1= -16x +32 }$

$\bold { y^2-2y +1+16x -32 = 0 }$

$\bold { y^2 +16x-2y+1 -32 = 0 }$

$\large\boxed{ \bold { y^2+16x-2y -31 = 0}}$

Se agrega gráfico