¿Cuál es la ecuación de la hipérbola con centro en el punto (-1,3), una longitud del semieje real de 3 unidades y una longitud del semieje imaginario (paralelo al eje Y) de 7 unidades?
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henry68
Científico
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A) La ecuación ordinaria de la elipse que sirve para generar el Litotriptor
Por los datos que te dan, se trata de una elipse horizontal, con centro fuera del origen:
Centro C = (1, -3) Por comparación obtenemos los valores de h, k
C = (h, k)
h = 1
k = -3
Para obtener el valor de b, lo vamos a obtener a partir del dato:
longitud del semieje menor, igual a 4 unidades
La fórmula nos dice que para obtener este valor es:
2(b) = longitud del semieje menor. Sustituir datos:
2(b) = 4 despejamos b
b = 4/2 = 2
b = 2
Los valores de tus focos
F = (-2, -3) Por semejanza comparando con la fórmula
F = (h - c, k) Donde ya sabemos que h = 1 y k = -3
F = 1 - c = -2 Despejar c
-c = -2 -1 El 1 es positivo, pasa al otro lado de la = como negativo.
-c = -3 Intercambiamos lugares para dejar c como positivo:
c = 3
Comprobación:
F = (h - c, k)
F = (1 - 3, -3)
F = (-2; -3)
tu otro foco va a tener las siguientes coordenadas;
F' = (h + c, k)
F' = (1 + 3, -3)
F' = (4. -3)
Tenemos el valor de:
c = 3 (Es el valor para los focos, no confundir con la C, del centro de la elipse.
b = 2
a = ?
a² = b² + c² Sustituir valores
a² = (2)² + (3)²
a² = 4 + 9
a² = 13 Aqui ya tenemos el valor de a elevada al cuadrado
a = √13
a = 3.6 Este es el valor solo de a
La ecuación ordinaria es así
Elipse horizontal con centro fuera del origen:
(x-h)² + (y-k)² = 1
a² b²
(x - 1)² + (y + 3)² = 1
13 4
B) Transformar la ecuación ordinaria a la ecuación general de la elipse:
4(x - 1)² + 13(y + 3)² = 1(52) 52 es el resultado de multiplicar 4 por 13
Desarrollas los binomios al cuadrado
4(x² - 2x + 1) + 13(y² + 6y + 9) = 52
Destruyes parentesis aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación
4x² - 8x + 4 + 13y² + 78y + 117 = 52
Acomodas conforme a la ecuación de las cónicas:
Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0
4x² + 13y² - 8x + 78y + 4 + 117 - 52 = 0 (el 52 positivo, pasa al otro lado de la igualdad con signo contrario)
operas los términos independientes, es decir los que no tienen letras:
4x² + 13y² - 8x + 78y + 69 = 0
Esta es tu ecuación general.
C) Longitud del semieje mayor: = 7.2 Unidades
2(a) = Longitud del eje mayor
Recuerda que a = 3.6
2(3.6) = 7.2
D) Longitud del semieje menor. = 4 unidades
Nota: La respuesta ya te la dieron en la pregunta:
"...y semieje menor igual a 4 unidades"
2(b) =
2(2) = 4
E) Longitud del semieje focal = 6 unidades
2(c)
2(3) = 6 Unidades
F) Las coordenadas de los vértices:
V₁ = (h + a, k) V₂ = (h - a, k)
V₁ = (1 + 3.6, -3) V₂ = (1 - 3.6, -3)
V₁ = (4.6, -3) V₂ = (-2.6, - 3) Vertices del semieje mayor
B₁ = (h, k + b) B₂ = (h, k - b)
B₁ = (1, -3 + 2) B₂ = (1, -3 - 2)
B₁ = (1, -1) B₂ = (1, - 5) Vértices del semieje menor.
No te preguntan por la longitud del lado recto, ni su excentricidad, pero te las voy a dar
Lado Recto
LR = 2b² = 2(2)² = 2(4) = 8 = 2.22
a 3.6 3.6 3.6
Tu lado recto de cada foco va abrir 1.1. Este valor 2.22, lo divides entre 2)
Excentricidad:
e = c = 3 = 0.8333
a 3.6
Este es el grado de achatamiento que tendrá tu elipse