Question

Cuál es la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos (3,2),( 2,4)y(-1,1)?​

Answer 1

                   ECUACIÓN DE LA CIRCUFERENCIA CON 3 PUNTOS.

Definición:

      Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de  un plano que equidistan de otro punto fijo llamado centro.

    La circunferencia es una línea curva  cerrada cuyos puntos están todos a la misma distancia de  un punto fijo llamado centro.            

   En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la circunferencia con centro en el punto (x,y) distinto  del origen y radio ''C'' consta de todos los puntos (x, y)( que satisfacen la ecuación.

                        $\sf{x^{2} +y^{2}+Ax+By+C =0}$, donde (x,y) son los puntos y C es el radio (elevado ya al cuadrado).  

          Problema:

Cuál es la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos (3,2), (2,4) y (-1,1).

                    Como tenemos tres puntos esto ser más avanzado, primero sustituimos el valor de ''x'' y y ''y'' de las primeros dos puntos, en la ecuación:

$\sf{3^{2} +2^{2} +3A+2B+C=0}\\\\\sf{9+4+3A+2B+C=0}\\\\\sf{13+3A+2B+C=0}\\\\\sf{3A+2B+C=-13}$

                 Repetimos el mismo procedimiento con el segundo par de puntos:

$\sf{2^{2} +4^{2}+2A+4B+C=0 }\\\\\sf{4+16+2A+4B+C=0}\\\\\sf{20+2A+4B+C=0}\\\\\sf{2A+4B+C=-20}$

                 De nuevo hacemos lo mismo con el tercer par de puntos:

$\sf{-1^{2} +1^{2}+A+B+C=0 }\\\\\sf{1+1+A+B+C=0}\\\\\sf{2+A+B+C=0}\\\\\sf{A+B+C=-2}$

               Ahora con los resultados podemos crear un sistema de ecuaciones 3x3 (resolvemos por eliminación).

$\sf{2A+4B+C=-20}\\\sf{A+B+C=-2}$

                    Multiplicamos el segunda ecuación por - 1:

$\sf{2A+4B+C=-20}\\\sf{-A-B-C=2}\\\text{-\ -\ -\ -\ -\ -\ -\ -\ -\ -\ -\ -\ -\ -\ -\ -}\\\sf{A+3B=-18}$

$\sf{3A+2B+C=-13}\\\sf{2A+4B+C= -20}$

                   

                              Multiplicamos la primera ecuación por - 1:

$\sf{-3A-2B-C=13}\\\sf{2A+4B+C=-20}\\\text{-\ -\ -\ -\ -\ -\ -\ -\ -\ -\ -\ -\ -\ -\ -\ -}\\\sf{-A+2B=-7}$

                      Unimos ambos resultados para crear un sistema de ecuaciones 2x2:

$\sf{-A+2B=-7}\\\sf{A+3B=-18}\\\text{-\ -\ -\ -\ -\ -\ -\ -\ -\ -\ -}\\\sf{5B=-25}\\\\\sf{B=-\dfrac{25}{5}} \\\\\boxed{\sf{B=-5}}$

                      Ya encontramos la incógnita "B" ahora sustituimos ese valor para encontrar ''A'':

$\sf{-A+3(-5)=-18}\\\\ \sf{A-15=-18}\\\\\sf{A=15-18}\\\\ \boxed{\sf{A=-3}}$

                       Sustituimos en una ecuación con tres incógnitas :

$\sf{-3-5+C=-2}\\\\\sf{-8+C=-2}\\\\\sf{C=-2+8}\\\\\boxed{\sf{C=6}}$                   Ahora sin poner nada de valores de ''x'' y ''y'' sustituimos en la ecuación de la recta:

$\boxed{\boxed{\sf{x^{2} +y^{2} -3x-5y+6=0}}}$