Question

cual es la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos (3,2) (2,4) y (-1,1)​

Answer 1

Para resolver este problema, necesitamos la ecuación general de la circunferencia, que es ésta:

• $x ^{ 2} + y ^{ 2} + Ax + By + C = 0$

Y ahora necesitamos identificar las x y las y de los 3 puntos que nos dieron:

• $P_1 = \Big (\underbrace{3}_{x}, \overbrace{2}^{y}\Big)$

• $P_2 = \Big (\underbrace{2}_{x}, \overbrace{4}^{y}\Big)$

• $P_1 = \Big (\underbrace{-1}_{x}, \overbrace{1}^{y}\Big)$

Ahora sustituimos X y Y del primer punto, en la ecuación general de la circunferencia:

$\bf P_1 = (3, 2)$

• ${(3) }^{ 2} + {2 }^{2 } + A(3) + B(2) + C = 0$

• $9 + 4 + 3A + 2B + C = 0$

• $\boxed{ 3A + 2B + C = -13 }^{^{\{ 1 \}} }$

$\bf P_2 = (2, 4)$

• ${ (2)}^{ 2} + { (4)}^{ 2} + A( 2) + B(4 ) + C = 0$

• $4 + 16 + 2A + 4B + C = 0$

• $\boxed{2A + 4B + C }^{^{\{ 2 \}} }$

$\bf P_3 = (-1, 1)$

• ${ (-1)}^{2 } + {1 }^{2 } + A(-1 ) + B( 1) + C = 0$

• $1 + 1 - A + B + C = 0$

• $\boxed{ -A +B +C = -2}^{^{\{ 3 \}} }$

Ahora tenemos un sistema de ecuaciones de 3x3, que hay que resolver

• $\begin{cases} {3A + 2B + C = -13}^{^{\{ 1 \}} } \\ {2A + 4B + C = - 20}^{^{\{ 2 \}} }\\ {-A +B +C = -2}^{^{\{ 3\}} } \end{cases}$

Y lo resolvemos por método de eliminación, o cualquier método que gusten.

A la ecuación 1 le restamos la 2

• $\underline{\begin{cases} {3A + 2B + C = -13}^{^{\{ 1 \}} } \\ {-2A - 4B -C = 20}^{^{\{ 2 \}} } \end{cases}} \atop A -2B =7^{^{\{ 4 \}} }$

A la ecuación 1 le restamos la 3

• $\underline{ \begin{cases} {3A + 2B + C = -13}^{^{\{ 1 \}} } \\ {A -B -C = 2}^{^{\{ 3\}} } \end{cases}}\atop 4A +B =-11 ^{^{\{ 5 \}} }$

Restamos 4 y 5

• $\underline{ \begin{cases} A -2B =7^{^{\{ 4 \}} } \\ 8A +2B =-22 ^{^{\{ 5 \}} } \end{cases}}\atop 9A =-15 ^{^{\{ 6 \}} }$

Resolvemos A de la ecuación 6

• $9A = -15$

• $\boxed{ A = - \frac{3 }{5 }}$

Remplazamos A en la ecuación 4

• $\underbrace{- \frac{ 3}{5 }}_{A} -2B =7^{^{\{ 4 \}} }$

• $-2B = \frac{ 21}{3 } + \frac{5 }{3 }$

• $\boxed{ B = - \frac{ 13}{3 }}$

Remplazamos A y B en la ecuación 3

• ${-\underbrace{\left (-\frac{ 5}{3 }\right) }_A + \underbrace{\left (-\frac{13 }{ 3}\right)}_B +C = -2}{^{\{ 3\}} }$

• $-\frac{8 }{3 } + C = -2$

• $\boxed{C = \frac{2 }{3 }}$

Ahora los valores de A, B y C los reemplazamos en la ecuación general de la circunferencia

• $x ^{ 2} + y ^{ 2} + \underbrace{\left (- \frac{3 }{ 5}\right)}_{A} x + \underbrace{\left ( - \frac{13 }{3 }\right) }_{B}y + \underbrace{\left (\frac{ 2}{3 }\right)}_C = 0$

Y resolviendo, nos queda:

• $\boxed{ {\left(x^2 - \frac{ 3}{10 } \right)}^2 + {\left(y - \frac{13 }{6 }\right)}^2 \approx 4.11778}$