Question

Cuál es la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el punto c (-5,4) y pasa por el punto A (-2,0)​

Answer 1

【Rpta.】 La ecuación de la circunferencia es x² + y² + 10x - 8y + 16 = 0

                                 ${\hspace{50 pt}\above 1.2pt}\boldsymbol{\mathsf{Procedimiento}}{\hspace{50pt}\above 1.2pt}$

Recordemos que una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos P(x,y) del plano que equidistan de un punto fijo C(h,k), al cuál llamaremos centro.

    $\overset{\mathsf{Ecuaci\acute{o}n\:de\:la\:circunferencia}}{\boxed{\boldsymbol{\mathrm{(x-h)^2+(y-k)^2=r^2}}}}\hspace{20pt} \mathsf{Donde}\hspace{10pt}\overset{\displaystyle \nearrow \overset{\displaystyle \mathsf{\mathrm{\mathrm{(h,k): Centro\:de\:la\:circunferencia}}}}{\vphantom{A}}}{\vphantom{\frac{a}{a}}}\kern-158pt\underset{\displaystyle \searrow \underset{\displaystyle \mathsf{\mathrm{r:radio}}}{}}{}$

Ya conociendo esto determinemos el radio de la circunferencia hallando la distancia entre el punto C y A

                                      $\mathsf{d[C,A]=\sqrt{[(-5)-(-2)]^2+[(4)-(0)]^2}}\\\\\mathsf{d[C,A]=\sqrt{(-3)^2+(4)^2}}\\\\\mathsf{d[C,A]=\sqrt{9+16}}\\\\\mathsf{d[C,A]=\sqrt{25}}\\\\{\boxed{\boldsymbol{\boxed{\mathsf{d[C,A]=5\:u}}}}}$

Entonces

                                                 $\mathsf{\blacktriangleright \:\:\:C = (\underbrace{-5}_{h},\overbrace{4}^{k})}$

                                                       $\mathsf{\blacktriangleright \:\:\:r = 5}$

Reemplazamos estos valores en la ecuación de la circunferencia

                              $\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:(x-h)^2+(y-k)^2=r^2}\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:[x-(-5)]^2+[y-(4)]^2=(5)^2}\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:(x+5)^2+(y-4)^2=25}\\\\\mathsf{[x^2 + 2(x)(5)+5^2]+[y^2- 2(y)(4)+4^2]=25}\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:(x^2+ 10x+25)+(y^2- 8y+16)=25}\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:x^2+y^2 + 10x - 8y + 41=25}\\\\\mathsf{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boxed{\boxed{\boldsymbol{\mathsf{x^2+y^2+ 10x- 8y+ 16=0}}}}}$

                                              $\mathsf{\mathsf{\above 3pt \phantom{aa}\overset{\displaystyle \fbox{I\kern-3pt R}}{}\hspace{2 pt}\fbox{C\kern-6.8pt O}\hspace{2 pt}\overset{\displaystyle\fbox{C\kern-6.5pt G}}{} \hspace{2 pt} \fbox{I\kern-3pt H} \hspace{2pt}\overset{\displaystyle\fbox{I\kern-3pt E}}{} \hspace{2pt} \fbox{I\kern-3pt R} \phantom{aa}} \above 3pt}$