Question

¿Cual es la derivada de πr al cuadrado?

Answer 1

La confusion nace de que estas hablando de dos VARIABLES distintas. Si bien las dos formulas son equivalentes dependen de dos variables distintas: L y D, por eso las derivadas son diferentes, ya que la derivada vendria a expresar la velocidad de variacion de la variable, y las dos varian en forma distinta a medida que obtienen la misma superficie.
Mucho lio, no? Pero es puro concepto.
Vamos a verlo en formulas, y vas a ver que las derivadas te terminan dando igual:
-primero las formulas de las superficies, y la RELACION entre ambas variables (esto es fundamental)

A = L^2
A = D^2 / 2
D = raiz(2) * L

-ahora las derivadas, y la RELACION entre los diferenciales (que sale de derivar la tercer ecuacion)

d A = 2 * L * d L
d A = D * d D
d D = raiz(2) * d L

-ahora transformemos la segunda ecuacion, sustituyendo todas las D por L
d A = D * d D
d A = [ raiz (2) * L ] * [ raiz(2) * d L ]
d A = 2 * L * d L

Como ves, quedo igual! (Si hubieras querido hacerlo al reves, reemplazando las L por D, funciona igual)

Siempre hay que hacer este proceso cuando se derivan formulas con variables distintas, pero equivalentes.

Espero haber sido de ayuda, y despejarte la duda.