cual es la derivada de E^x utilizando limites
Respuestas a la pregunta
Demostración de e^x por definición de límites
Comenzaremos con la definición de e^x usando límites:
1. e=limn→∞(1+1n)n (1)
O lo que es lo mismo:
2. e=limn→0(1+n)1n(2)
Y lo haremos comenzando por la definición de las derivadas que no es más que el límite de la recta tangente.
3. dydxex=limΔx→0ex+Δx−exΔx
De aquí podemos observar que hay una suma de exponentes la cual podemos separar en una multiplicación de potencias de igual base, con esto la ecuación nos quedaría de la siguiente manera:
4. dydxex=limΔx→0exeΔx−exΔx
Y luego al sacarle factor común en el numerador nos queda:
5. dydxex=limΔx→0ex(eΔx−1)Δx
Como el límite que estamos buscando es cuando delta x tiende a cero Δx→0 podemos sacar a e^x fuera del límite, con lo que nos quedaría:
6. dydxex=exlimΔx→0(eΔx−1)Δx
Lo que buscamos es que nuestro límite se parezca un poco a nuestras ecuaciones (1) y (2), para lograr esto haremos una sustitución, es decir, un cambio de variables.
7. n=eΔx−1n+1=eΔx−1+1 ln(n+1)=Δx
Con estos cambios de variables, nuestra expresión queda de la siguiente manera:
8. dydxex=exlimn→0nln(n+1)
Si multiplicamos y dividimos por 1n nuestra expresión sería la siguiente:
9. dydxex=exlimn→01nn1nln(n+1)
Con lo que en el numerador se cancelarían multiplicando n y dividiendo n:
10. dydxex=exlimn→011nln(n+1)
Y en el denominador tendríamos que utilizar las propiedades de los logaritmos que dice que alnb=lnba con lo que el numerador quedaría de la siguiente manera.
11. dydxex=exlimn→01ln(1+n)1n
Usando la propiedad que dice que el límite del cociente es igual al cociente de los límites podremos dilucidar mejor que es lo que está pasando.
12. dydxex=exlimn→01limn→0ln(1+n)1n
Como el límite de una constante es igual a la misma constante podremos resolver el límite del numerador. Y si volvemos a aplicar las propiedades de los límites en el denominador no queda nuestra expresión igual a la ecuación (2)
13. dydxex=ex1ln(limn→0(1+n)1n)
Con esto nos queda casi resuelta nuestra demostración:
14. dydxex=ex1lne
Como sabemos, el logaritmo natural del número e es igual a 1. Y por consiguiente:
15. dydxex=ex11
Con lo que finalmente queda demostrado que:
16. dydxex=ex
Por lo que se demuestra que la derivada de e^x es de hecho e^x, esto nos deja ver una pequeña dimensión de la belleza de lo que es este número irracional que honra a su descubridor, el gran genio matemático Leonhard Euler.