Question

Cuál es la altura de un cono, si cuando el cono esta sobre la altura de su base, la altura del agua al vértice es de 8 centímetros y cuando se le da la vuelta al cono, el agua está a dos centímetros de altura de la base?

Answer 1

El recipiente cónico tiene una altura total de 11,4 centímetros.

Explicación:

Lo que dice el problema es que cuando el cono está apoyado sobre su cúspide, la altura del agua es de 8 centímetros sobre esta, y cuando está sobre su base, tiene 2 centímetros de agua.

En la imagen adjunta se ve un corte transversal del cono. Donde el volumen amarillo del cono trunco tiene que ser igual al volumen azul del cono superior. Tenemos:

$\frac{1}{3}\pi.r_c^2.8cm=\frac{1}{3}\pi.2cm(r_t^2+r_b^2+r_tr_b)\\\\r_c^2.8cm=2cm(r_t^2+r_b^2+r_tr_b)$

Esta ecuación tiene tres incógnitas pero si vemos la imagen, los triángulos rayados son semejantes. Por lo que tenemos:

$\frac{8cm}{2cm}=\frac{r_c}{r_t-r_b}\\\\r_c=4(r_t-r_b)$

De aquí despejamos rb:

$r_b=r_t-\frac{r_c}{4}$

También podemos encontrar otra proporcionalidad por semejanza de triángulos:

$\frac{h}{8cm}=\frac{r_t}{r_c}$

Reemplazo rb en la ecuación de volumenes:

$4r_c^2=r_t^2+(r_t-\frac{r_c}{4})^2+r_t(r_t-\frac{r_c}{4})\\\\4r_c^2=3r_t^2-\frac{3}{2}r_tr_c+\frac{r_c^2}{16}$

En ambos miembros divido por rc^2:

$4=3\frac{r_t^2}{r_c}-\frac{3r_t}{2r_c}+\frac{1}{16}\\\\\frac{63}{16}=3\frac{r_t^2}{r_c}-\frac{3r_t}{2r_c}$

Los reemplazamos por la proporción que relaciona a la altura total.

$\frac{63}{16}=3\frac{h^2}{64}-\frac{3h}{16}\\\\252=3h^2-12h$

La altura la obtenemos resolviendo la ecuación cuadrática:

$h=\frac{12\ñ\sqrt{(-12)^2-4.3.(-252)}}{2.3}\\\\h=11,4cm$

La otra solución es negativa por lo que no tiene sentido.