Question

cual es el volumen del solido?​

Answer 1

Respuesta:

310x^6

Explicación paso a paso:

VT-VF=VR

$10 {x}^{2} \times 8 {x}^{2} \times 5 {x}^{2} - 6 {x}^{2} \\ \times 3 {x}^{2} \times 5 {x }^{2} = 400 {x}^{6} - 90 {x}^{6} = 310 { x}^{6}$

Answer 2

Respuesta:

6.3 es el volumen del sólido

Considere la región delimitada por la gráfica de una función continua y diferenciable y = f(x) en el intervalo [a, b], el eje x y las líneas verticales x = a y x = b. Gire esta región alrededor del eje x para obtener un sólido de revolución, como se muestra a continuación.

Región del plano

Se requiere calcular el volumen de este sólido.

Cálculo aproximado del volumen

Se puede calcular un valor aproximado del volumen del sólido dado mediante el procedimiento que se explica a continuación.

1. Sea «el todo» el sólido que se obtiene al girar alrededor del eje x la región del plano delimitada por la gráfica de la función continua y diferenciable y = f(x) en el intervalo [a,b], el eje x y las rectas verticales x = a, y y = b.

2. Sea V el valor exacto del volumen de ese sólido.

3. Divida el intervalo [a,b] en un número (natural) finito n de subintervalos todos de igual longitud, \Delta x, de manera que:

\begin{equation*} \Delta x = \frac{b - a}{n} \end{equation*}

Suponga que los extremos de cada subintervalo están en x_{i} y x_{i+1} = x_{i} + \Delta x, tal que:

\begin{eqnarray*} x_{0} \!\!\!&=&\!\!\! a\\ x_{1} \!\!\!&=&\!\!\! x_{0} + \Delta x = a + \Delta x\\ x_{2} \!\!\!&=&\!\!\! x_{1} + \Delta x = a + 2\cdot\Delta x\\ &\cdots&\\ x_{n} \!\!\!&=&\!\!\! b = a + n\cdot \Delta x \end{eqnarray*}

4. Observe que a cada subintervalo [x_{i}, x_{i+1}], le corresponde una parte del sólido del cual se desea calcular el volumen.

5. Sea \Delta V_{i} el valor exacto del volumen de la parte del sólido correspondiente al i-ésimo subintervalo.

6. La estrategia consiste en calcular un valor aproximado del volumen \Delta V_{i} de cada una de estas partes considerando a cada una como si fuera un cono truncado y luego sumar todos estos valores para obtener una aproximación del volumen del sólido, con base en que:

\begin{equation*} V = \sum\limits_{i = 0}^{n-1} \Delta V_{i} \end{equation*}

Volumen aproximado

7. Evalúe la función y = f(x) en cada punto x_i para 0 \leq i \leq n para obtener las coordenadas de los puntos (x_{i}, f(x_{i})) sobre la gráfica de la función.

Para cada subintervalo [x_{i}, x_{i+1}] calcule el volumen \Delta V_{\text{ct}-i} del cono truncado con radios f(x_{i}), y f(x_{i+1}), y altura \Delta x = x_{i + 1} - x_{i}, aplicando la fórmula:

\begin{equation*} \Delta V_{\text{ct}-i} = \frac{\pi}{3} \cdot \left([f(x_{i})]^2 + f(x_{i}) \cdot f(x_{i+1}) + [f(x_{i+1})]^2\right) \cdot \Delta x \end{equation*}

\Delta V_{\text{ct}-i} es un valor aproximado del volumen \Delta V_{i} de la parte del sólido correspondiente al subintervalo [x_{i}, x_{i+1}].

\begin{equation*} \Delta V_{i} \approx \frac{\pi}{3} \cdot \left([f(x_{i})]^2 + f(x_{i}) \cdot f(x_{i+1}) + [f(x_{i+1})]^2\right) \cdot \Delta x \end{equation*}

8. Por el método de Euler, se sabe que f(x_{i+1}) = f(x_{i} + \Delta x) \approx f(x_{i}) + f'(x_{i}) \cdot \Delta x. Entonces, con la intención de simplificar la expresión correspondiente a la aproximación de \Delta V_{i},

\begin{eqnarray*} \Delta V_{i} &\approx& \frac{\pi}{3} \cdot \left([f(x_{i})]^2 + f(x_{i}) \cdot f(x_{i+1}) + [f(x_{i+1})]^2\right) \cdot \Delta x \\ &\approx& \frac{\pi}{3}\left[\left[f(x_{i})\right]^2 + f(x_{i}) \cdot f(x_{i} + \Delta x) + \left[f(x_{i} + \Delta x)\right]^2\right]\,\Delta x \\ &\approx& \frac{\pi}{3}\left[\left[f(x_{i})\right]^2 + f(x_{i}) \cdot \left(f(x_{i}) + f'(x_{i}) \cdot \Delta x\right) + \left(f(x_{i}) + f'(x_{i}) \cdot \Delta x\right)^2\right]\,\Delta x \\ &=& \frac{\pi}{3}\left[\left[f(x_{i})\right]^2 + \left[f(x_{i})\right]^2 + f(x_{i}) \cdot f'(x_{i}) \cdot \Delta x + \left[f(x_{i})\right]^2 + 2\,f(x_{i})\,f'(x_{i}) \cdot \Delta x + \right. \\ && \left.+ \left[f'(x_{i})\right]^2\cdot\left[\Delta x\right]^2\right]\,\Delta x \\ &=& \pi\,\left[f(x_{i})\right]^2 \Delta x + \pi\,f(x_{i}) \, f'(x_{i}) \cdot\left[\Delta x\right]^{2} + \frac{\pi}{3}\,\left[f'(x_{i})\right]^2\cdot\left[\Delta x\right]^3 \end{eqnarray*}

Explicación paso a paso:

espero ayude