¿Cuál es el valor de S^3 0 xdx?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Integracion de funciones de una variable ´
En el cap´ıtulo anterior nos interesamos en el siguiente problema: dada una funcion, hallar su de- ´
rivada. Sin embargo, muchas aplicaciones importantes del calculo est ´ an relacionadas con el problema ´
inverso, esto es, dada una funcion, calcular una nueva cuya derivada sea la funci ´ on inicial. ´ Este proceso
de calculo llamado integraci ´ on ser ´ a desarrollado a lo largo de este cap ´ ´ıtulo, el cual es dividido en dos
partes fundamentales:
1. Calculo de primitivas: ´ En esta primera parte nos centraremos en como resolver el problema de ´
calculo anterior. Es decir, dada una funci ´ on real de una variable real ´ f : I → R, definida en el
intervalo I, estudiaremos diferentes metodos para conseguir una nueva funci ´ on´ F : I → R que sea
derivable y cumpla que F
0
(x) = f(x), para todo x ∈ I. En tal caso diremos que F es una primitiva
de f .
2. Aplicaciones: En la segunda parte del tema estudiaremos algunas aplicaciones de interes del c ´ alcu- ´
lo de primitivas. Hallaremos areas comprendidas entre dos curvas, longitudes de curvas, y ´ area y ´
volumen encerrado por una superficie de rotacion. ´
3.1 Calculo de primitivas. Integral indefinida ´
Comenzaremos fijando las ideas del problema que pretendemos resolver:
Dada una funcion real de variable real ´ f : I → R definida sobre un intervalo I queremos encontrar
una funcion derivable ´ F : I → R tal que F
0
(x) = f(x), para todo x ∈ I.
Definicion 44 (Primitiva de una funci ´ on) ´
Una funcion´ F(x) que resuelva el problema anterior sera llamada una primitiva de ´ f(x).
Por ejemplo, supongamos que queremos calcular una primitiva de la funcion´ f(x) = 2x. Entonces,
de lo aprendido en el tema anterior sabemos que la funcion´ F(x) = x
2
es una primitiva de f(x) ya que
F
0
(x) = (x
2
)
0 = 2x = f(x).
De la misma manera la funcion´ G(x) = x
2 +1 es tambien una primitiva de ´ f(x) ya que
G
0
(x) = (x
2 +1)
0 = 2x = f(x).
Observemos del ejemplo anterior que una vez que uno obtiene una primitiva F(x) de la funcion´ f(x)
definida sobre un intervalo I, entonces la nueva funcion´ F(x) +C es tambien una primitiva de ´ f(x), para
59
60 3.1. Calculo de primitivas. Integral indefinida ´
cualquier constante C. De hecho, una vez conocida una primitiva de una funcion, cualquier otra primitiva ´
es igual a la anterior salvo una constante. Esto lo expresamos en el siguiente resultado:
Resultado
Sea f : I → R una funcion definida en un intervalo I y F ´ : I → R una primitiva suya. Entonces
cualquier otra primitiva de f(x) es de la forma F(x) +C, donde C es una constante real.
Utilizaremos el termino ´ integral indefinida de la funcion´ f(x) al conjunto de todas sus primitivas. A
dicho conjunto lo denotaremos por
Z
f(x)dx.
As´ı, si F(x) es una primitiva de f(x) escribiremos
Z
f(x)dx = F(x) +C,
ya que por el resultado anterior todas las primitivas de f(x) son iguales a F(x) salvo constante C.
Por ejemplo, sabemos del calculo b ´ asico de derivadas que una primitiva de ´ f(x) = cos x es la funcion´
F(x) = senx ya que
F
0
(x) = (senx)
0 = cos x = f(x).
Por tanto, usaremos la notacion´ Z
cos x dx = senx+C,
para indicar que el conjunto de todas las primitivas de f(x) = cos x viene dado por las funciones de la
forma senx+C.
Hemos de observar que el calculo de primitivas aparece de manera natural en muchos problemas ´
de la F´ısica, Qu´ımica, Biolog´ıa, etcetera. Un ejemplo elemental de esto ocurre cuando conocemos la ´
velocidad de un cuerpo movil, ´ v(t), que depende del tiempo y queremos calcular el espacio, s(t), que el
movil ha recorrido. Ya que ´ v(t) = s
0
(t), tenemos que s(t) es una primitiva de v(t).
EJEMPLO
Supongamos que la velocidad de un cuerpo movil viene dada en funci ´ on del tiempo por la funci ´ on´
v(t) = 2t, donde t es el tiempo medido en segundos y la velocidad esta m
Explicación paso a paso: