¿Cuál es el valor de la expresión b2 - 4ac?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Cuando nos encontramos con una ecuación cuadrática o de segundo grado, observamos que tiene la siguiente forma:
ax² + bx + c = 0
donde “x” es la variable o incógnita, y las letras a, b y c son los coeficientes, los cuales pueden tener cualquier valor, excepto que a = 0. Para encontrar solución a este tipo de ecuación se utiliza la fórmula cuadrática que tiene la forma siguiente:
x = [ – b ± √ (b2 – 4ac) ] / 2a
Sustituyendo los valores de los coeficientes a, b y c en ella, podemos obtener fácilmente los valores de x, recordando que “±” expresa que la ecuación tiene ¡DOS SOLUCIONES! La parte “b2 – 4ac” se le denomina discriminante y:
si es positivo, hay DOS soluciones.
si es cero sólo hay UNA solución.
si es negativo hay dos soluciones que incluyen números imaginarios.
Demostración
Reescribamos la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, de la siguiente manera:
x2 + (b/a)x = – c/a
Si observamos el primer término (a la izquierda del signo =), vemos que el binomio “ax2+ (b/a)x” le falta un término para ser un trinomio cuadrado perfecto (a2 + 2ab + b2). Dicho término es el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término, es decir, (b/2a)2 o lo que es lo mismo, b2/(4a2):
x2 + (b/a)x + b2/(4a2) = – c/a
En efecto, se ha formado un trinomio cuyo primer término es el cuadrado de x, su segundo es el doble de producto de x por b/2a y su tercero es el cuadrado de la mitad del coeficiente del segundo término b/2a, es decir, b2/(4a2).
Ahora, para no alterar la ecuación le agregamos al segundo miembro la misma cantidad que se le hemos agregado al primero, así tendremos:
x2 + (b/a)x + b2/(4a2) = – c/a + b2/(4a2)
En el primer miembro de la ecuación se tiene un trinomio cuadrado perfecto, por lo tanto:
(x + b/2a)2 = – c/a + b2/(4a2)
Extrayendo la raíz cuadrada a ambos miembros se tiene:
√(x + b/2a)2 = ± √[- c/a + b2/(4a2) ]
(x + b/2a) = ± √[- c/a + b2/(4a2) ]
En consecuencia las raíces de la formula cuadrática serán:
x1 = -b/2a + √[- c/a + b2/(4a2) ]
x2 = -b/2a – √[- c/a + b2/(4a2) ]
Explicación paso a paso:
Donde la expresión “b2 – 4ac” (que está dentro de la raíz cuadrática) se le denomina discriminante; su signo determinará el número de soluciones de las ecuaciones cuadráticas y también si éstas son soluciones reales o imaginarias: si el discriminante es positivo, b2 – 4ac > 0, hay DOS soluciones.