¿Cuál es el único caso en el que una radicación no tiene solución en el conjunto numérico de los números enteros?, Justificar su respuesta.
Respuestas a la pregunta
Se define la raíz enésima de un número a, donde n es un número entero positivo, a cualquiera de las n soluciones reales o complejas de la ecuación
{\displaystyle x^{n}-a=0}{\displaystyle x^{n}-a=0}
de incógnita x y se denota como {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}}\sqrt[n]{a}. De esta manera se tiene la equivalencia:4
{\displaystyle x^{n}=a\iff x={\sqrt[{n}]{a}}}{\displaystyle x^{n}=a\iff x={\sqrt[{n}]{a}}}.
La raíz cuadrada (n=2), por ser la más frecuente, se escribe sin superíndice: {\displaystyle {\sqrt {a}}}\sqrt{a} en vez de {\displaystyle {\sqrt[{2}]{a}}}{\displaystyle {\sqrt[{2}]{a}}}. Para el caso n=1 el símbolo de raíz {\displaystyle {\sqrt {\ }}}\sqrt{\ } ni siquiera se escribe, puesto que {\displaystyle {\sqrt[{1}]{a}}=a}{\displaystyle {\sqrt[{1}]{a}}=a}.
Dentro de los números reales positivos, siempre puede encontrarse una única raíz enésima también positiva. Si el número a es negativo entonces sólo existirá una raíz real cuando el índice n sea impar.4 La raíz enésima de un número negativo no es un número real (no está definida dentro de los números reales) cuando el índice n es par.
Dentro de los números complejos, para cada número z siempre es posible encontrar exactamente n raíces enésimas diferentes.
Fundamentos matemáticos
Relación con la potenciación
La radicación de orden n y la potenciación del mismo orden se anulan entre sí. Tomando la definición general de raíz para reales positivos a y para naturales n se tiene que:
{\displaystyle \left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{n}=a}{\displaystyle \left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{n}=a}
La raíz de cierto orden n de un número es equivalente a elevar dicho número a la potencia inversa {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}{\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}. De acuerdo con las reglas de potenciación,
{\displaystyle \left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a^{\frac {n}{n}}=a^{1}=a}{\displaystyle \left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a^{\frac {n}{n}}=a^{1}=a}
de manera que la radicación de orden n puede ser interpretado en realidad como otra forma de expresar una potenciación de exponente {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}{\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}.
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}}{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}}
Singularidad de las raíces de números positivos
Aunque el problema mencionado antes de hallar las raíces de números positivos tiene realmente dos soluciones con distinto signo cuando el índice n es par, el símbolo {\displaystyle {\sqrt {\ }}}\sqrt{\ } aplicado al radicando denota una función y por tanto tiene que devolver un único valor que en principio es para la solución positiva. Por ejemplo, la ecuación {\displaystyle x^{2}=4}{\displaystyle x^{2}=4} tiene las soluciones +2 y -2 pero a {\displaystyle {\sqrt {4}}}{\displaystyle {\sqrt {4}}} se le asigna el valor 2 y no -2.
{\displaystyle {\sqrt[{2n}]{x^{2n}}}=|x|\,.}{\displaystyle {\sqrt[{2n}]{x^{2n}}}=|x|\,.}
Raíces de números negativos
El tratamiento de raíces de números negativos no es uniforme. Por ejemplo, de
{\displaystyle (-2)^{3}=-8}{\displaystyle (-2)^{3}=-8}
se tiene que -2 es el único número real cuyo cubo da -8. En general, las potencias de exponente natural impar de números negativos dan de nuevo números negativos.
Con respecto a las raíces impares de números negativos, se sigue la pauta de no representar el signo negativo dentro del radicando, pudiendo ser considerado indefinido o no permitido. Tomando este criterio, la solución a la ecuación
{\displaystyle x^{3}=-8}{\displaystyle x^{3}=-8}
debe representarse como {\displaystyle -{\sqrt[{3}]{8}}}{\displaystyle -{\sqrt[{3}]{8}}} y no como {\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}}{\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}}. Escrito de esta manera, las raíces de números negativos se permiten si el índice de la raíz es un número impar (3, 5, 7, ...), siendo
{\displaystyle {\sqrt[{2n+1}]{-a}}=-{\sqrt[{2n+1}]{a}}}{\displaystyle {\sqrt[{2n+1}]{-a}}=-{\sqrt[{2n+1}]{a}}}
Representar las raíces de esta manera evita ciertas incompatibilidades y contradicciones con algunas propiedades de las raíces que son válidas para radicandos positivos. Una muestra de ello puede ser,
{\displaystyle -2={\sqrt[{3}]{-8}}\neq {\sqrt[{6}]{(-8)^{2}}}={\sqrt[{6}]{64}}=+2.}{\displaystyle -2={\sqrt[{3}]{-8}}\neq {\sqrt[{6}]{(-8)^{2}}}={\sqrt[{6}]{64}}=+2.}
La representación considerada indefinida tampoco funciona con la fórmula
{\displaystyle {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}=\exp \left({\frac {1}{n}}\ln a\right)}}{\displaystyle {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}=\exp \left({\frac {1}{n}}\ln a\right)}}
dado que el logaritmo de un número negativo no está definido (a no puede ser negativo).
me costo :p