Question

cuál es el término independiente en la expansión de P(x)=(x^2+1/x+1/x^2)^8

Answer 1

TEORIA

por la teoría de Leibnitz

$\underbrace{(a+b+c+...v+w+x)^{n}}}$

            "k" sumandos

$(a+b+c+...v+w+x)^{n}=\Sigma\dfrac{n!}{\alpha!\beta!\gamma!.....\delta!\phi!\theta!}.a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma} ....v^{\delta}w^{\phi}x^{\theta}$

donde $\underbrace{\alpha+\beta+\gamma+...+\delta+\phi+\theta}=n$

                       "k" sumandos

donde el termino general de un termino es:

$\dfrac{n!}{\alpha!\beta!\gamma!.....\delta!\phi!\theta!}.a^{\alpha}b^{\beta}c^{\gamma} ....v^{\delta}w^{\phi}x^{\theta}$

RESOLUCION

$P(x)=(x^{2}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^{2} } )^8$

en el termino independiente x tiene que tener exponente cero

$\dfrac{8!}{\alpha!\beta!\gamma!}.(x^{2})^{\alpha}(\dfrac{1}{x})^{\beta}(\dfrac{1}{x^{2}} )^{\gamma}$

$\dfrac{8!}{\alpha!\beta!\gamma!}.(x^{2\alpha})(x)^{-\beta}(x)^{-2\gamma}$

$\dfrac{8!}{\alpha!\beta!\gamma!}.(x)^{2\alpha-\beta-2\gamma}$

por lo mencionado anteriormente $2\alpha -\beta -2\gamma=0$

además $\alpha +\beta +\gamma=8$

del primer dato nos damos cuenta que $\beta$ tiene que ser 2°

los únicos valores que cumplen son

$\alpha=4;\beta=0;\gamma=4$

$\alpha=3;\beta =4;\gamma=1$

entonces dicho termino será:

$\dfrac{8!}{4!0!4!}.(x)^{0}+\dfrac{8!}{3!4!1!}.(x)^{0}=350$

$\mathbb{AUTOR}:SmithValdez\\VIVA \ \ RONALDO$