Question

Cual es el termino general y el n10 de la siguiente sucesión:
3,6,11,18,27

Answer 1

Es una sucesión cuadrática, por qué?  Porque la diferencia entre términos no es un número fijo sino que va aumentando en dos unidades cada vez que se obtiene un nuevo término.

Los términos que continúan la sucesión, partiendo de que entre los dos últimos términos que nos dan existe una diferencia de  27-18 = 9, se deduce que hay que sumar 11 unidades a 27 para obtener el siguiente término, es decir que después del 27 vendría el 27+11 = 38 ... después sumaríamos 13 unidades y tendríamos 38+11 = 49 ... después sumaríamos 15, y así sucesivamente.

Lo que resulta algo más engorroso de obtener es la regla que nos permita saber el valor de cualquier término de esa sucesión simplemente conociendo el lugar que ocupa en ella. Veamos...

Términos:     1º              2º             3º            4º
Prog. inicial:  3               6             11           18            27
Diferencia 1:         +3            +5           +7            +9           ⇒⇒ (1er. orden)
Diferencia 2:                  +2            +2          +2                   ⇒⇒ (2º orden)

En el segundo orden es donde nos encontramos una sucesión aritmética normal donde siempre se cumple que existe una diferencia de 2 entre dos términos consecutivos.

Si has llegado a conocer este tipo de sucesiones debes saber que el término general  $a_n$  (o enésimo) debe tener esta forma: 

$a_n=an^2+bn+c$

... expresión que puede sonarte bastante al típico trinomio de una ecuación de 2º grado, de ahí el nombre de sucesión cuadrática.

Para llegar a conocer el término enésimo de esta sucesión hemos de saber el valor de los coeficientes (a, b, c) 

Diremos que esos coeficientes equivalen a esto:
$a= \frac{A}{2}, \\ \\ b=B- \frac{3}{2}*A, \\ \\ c=A-B+C$

Y los valores A, B, C, salen de los primeros dígitos del desarrollo de la sucesión escrito arriba y que he remarcado en negrita. Es decir que:

1er. térm. de prog. inicial = 3 ... lo llamo C
Diferencia 1 = ---------------+3 ...  lo llamo B
Diferencia 2 = ---------------+2 ...  lo llamo A

La fórmula queda así:
$a_n=(\frac{A}{2})*n^2+(B- \frac{3}{2}*A)*n+(A-B+C)$

Es una fórmula que hay que memorizar para poder resolver las sucesiones cuadráticas. Alguien muy inteligente, que no soy yo, debió deducirla.

El caso es que sustituiré las letras A,B,C, por sus valores y en cuanto reduzca términos semejantes habré obtenido la regla o fórmula del término n-ésimo.

$a_n=(\frac{2}{2})*n^2+(3- \frac{3}{2}*2)*n+(2-3+3) \\ \\ a_n=(1*n^2)+(0*n)+2 \\ \\ a_n=n^2+2$

Ahí tienes la fórmula o regla general de la sucesión y se comprueba que es correcta dando valores a "n" a partir de la unidad, así:

Para n=1 ... a₁ = 1²+2 = 3
Para n=2 ... a₂ = 2²+2 = 6
Para n=3 ... a₃ = 3²+2 = 11 ... etc...

Por tanto para obtener el término a₁₀ sólo hay que sustituir "n" por 10 y nos dará el valor de ese término:

$a_{10} =10^2+2=102$

El término  $a_{10}$  es 102

Saludos.