¿Cuál es el resultado de dividir el polinomio 24m^{2} n+16mn^{2} +32mn entre 8n?
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Explicación paso a paso:
Factorizando Productos Especiales
Objetivo de Aprendizaje
· Identificar y factorizar productos especiales de binomios.
Introducción
Una de las claves para factorizar es encontrar relaciones entre los valores a, b, y c de los trinomios con forma ax2 + bx + c. Ser capaz de pensar rápidamente en posibles combinaciones de números, y luego usar esas combinaciones, es una habilidad importante que requiere paciencia y práctica.
Aprender a reconocer algunos tipos de polinomios comunes disminuirá el tiempo dedicado a factorizarlos. Conocer los patrones característicos de productos especiales, por ejemplo trinomios que provienen de elevar binomios al cuadrado, provee un atajo para encontrar sus factores.
¿Curioso sobre cuáles son estos patrones? Veamos.
Cuadrados Perfectos
Los cuadrados perfectos son números producidos por elevar un entero al cuadrado. Por ejemplo 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, y 100 son todos cuadrados perfectos: provienen de elevar al cuadrado los números del 1 al 10.
Si el término c de un trinomio x2 + bx + c es un cuadrado perfecto, entonces es posible que sea un trinomio cuadrado perfecto, un trinomio que es el producto de un polinomio multiplicado por sí mismo. Si lo es, será fácil de factorizar.
Considera el trinomio, x2 + 6x + 9. El término c, 9, es un cuadrado perfecto. Vamos a factorizarlo para ver qué pasa. (Recuerda, para factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c, debes encontrar dos enteros, r y s, cuya suma sea b y producto sea c. Reescribe el trinomio como x2 + rx + sx + c y luego agrupas y usas la Propiedad Distributiva para factorizar el polinomio.)
Ejemplo
Problema
Factorizar x2 + 6x + 9
x2 + 3x + 3x + 9
Reescribir el trinomio como un polinomio de 4 términos, para agruparlo. Encontrar primero dos enteros que sumados sean 6 y multiplicados sean 9: 3 y 3.
Luego reescribir 6x como 3x + 3x
(x2 + 3x) + (3x + 9)
Agrupar términos
x(x + 3) + 3(x + 3)
Usar la Propiedad Distributiva para sacar el factor, x, del primer grupo, y el factor común, 3, del segundo grupo
(x + 3)(x + 3), o (x + 3)2
Usar la Propiedad Distributiva para sacar el factor, (x + 3), de la expresión. (x + 3)(x + 3) también puede escribirse como (x + 3)2.
Solución
(x + 3)2
Mira eso — hay muchos cuadrados por ahí. Los términos a y c son cada uno cuadrados perfectos, el término b es el doble del producto de las raíces cuadradas de esos términos, y los factores del trinomio son un cuadrado perfecto. Todo esto parece ser importante.
Intentemos otro ejemplo para ver si lo es.
Vamos a factorizar 9x2 – 24x + 16. Para este trinomio, necesitamos encontrar dos número cuya suma sea -24 y el producto sea 9 • 16, o 144.
Intentemos el número 12, ya que 12 es la raíz cuadrada de 144. Mientras que 12 • 12 = 144, 12 + 12 = 24. Esto no está bien — buscamos una suma de -24, no +24.
Pero espera — ¿qué pasa si usamos -12 en lugar de +12? Sabemos que -12 • -12 = 144, y que (-12) + (-12) = -24. ¡Funciona entonces! Podemos dividir -24x en -12x y -12x y factorizar.
Ejemplo
Problema
Factorizar 9x2 – 24x + 16
9x2 – 12x – 12x + 16
Reescribir -24x como –12x – 12x para hacer la agrupación más fácil
(9x2 – 12x) – (12x – 16)
Agrupar términos. Cuidando los signos: -12x + 16 se convierte en –(12x – 16).
3x(3x – 4) – 4(3x – 4)
Usar la Propiedad Distributiva para sacar el factor común, 3x, del primer grupo, y el factor común, 4, del segundo grupo
(3x – 4)(3x – 4), o (3x – 4)2
Usar la Propiedad Distributiva para sacar el factor común, (3x – 4), de ambos términos
(3x – 4)(3x – 4) también puede escribirse como
(3x – 4)2.
Solución
(3x – 4)2
En este ejemplo, los términos a y c son cuadrados perfectos, el término b es el doble de la raíz cuadrada del término a por la raíz cuadrada del término c, y los factores del trinomio son cuadrados perfectos. Sí, ¡tenemos un patrón!
Esto nos lleva a la regla general para factorizar trinomios cuadrados perfectos:
Trinomios Cuadrados Perfectos
Un trinomio de la forma r2 + 2rs + s2 puede ser factorizado como (r + s)2.
Un trinomio de la forma r2 – 2rs + s2 puede ser factorizado como (r – s)2.
Ejemplos:
La forma factorizada de 4x2 + 20x + 25 es (2x + 5)2.
La forma factorizada de x2 – 10x + 25 es (x – 5)2.
Un Error Común
Una advertencia: Ten cuidado de no cometer los dos errores más comunes que comete la gente cuando aprende a trabajar con trinomios cuadrados perfectos.
Algunas personas intentan factorizar un binomio r2 + s2 como (r + s)2. De manera similar, el binomio (r – s)2, a primera vista podrían pensar que se evalúa como r2 – s2. ¡Esto es un error! Veamos (r + s)2 y (r – s)2 en su forma expandida.
Ejemplo
Problema
Expandir (r + s)2
Expandir (r – s)2
(r + s)(r + s)
(r – s)(r – s)
r2 + rs + rs + s2
r2 – rs – rs + s2
Solución
r2 + 2rs + s2
r2 – 2rs + s2