cual es el mcm y el mcd de polinomios
Respuestas a la pregunta
Se descomponen cada una de las expresiones dadas en sus factores primos (Caso. I Factor Común de Polinomios); y el m.c.m. es el producto de los factores primos comunes y no comunes , con su mayor exponente.
Ejemplo A) Hallar el m.c.m. de 4ax^2 -8axy +4ay^2 , 6b^2x -6b^2y
>> Descomponiendo las expresiones en en sus factores primos (Caso I Factor Común Polinomio)
>4ax^2 -8axy +4ay2 = 4a(x^2 -2xy -y^2) = 2^2a(x -y)^2
> 6b^2x -6b^2y = 6b^2(x -y) = (2)(3)b^2(x -y)
–> el m.c.m. es = (2^2)(3)ab^2(x-y)^2 = 12ab2(x -y)^2 Esta es la solución.
Ejemplo B) Hallar el m.c.m. de x^3 +2bx^2 , x^3y -4b^2xy , x^2y^2 +4bxy^2 +4b^2y^2
>> Descomponiendo las expresiones en sus factores primos (Caso I Factor Común Polinomio)
> x^3 +2bx^2 = x^2(x +2b)
> x^3y -4b^2xy = xy(x^2 +4b^2) = xy(x +2b)(x -2b)
> x^2y^2 +4bxy^2 +4b^2y^2 = y^2(x^2 +4bx +4b^2) = y^2(x +2b)^2
–> el m.c.m. es = x^2y^2(x +2b)^2(x -2b) Esta es la Solución.
Ejemplo C) Hallar el m.c.m. de m^2 -mn , mn +n^2 , m^2 -n^2
>> Descomponiendo las expresiones en sus factores primos (Caso I Factor Común Polinomio)
> m^2 -mn = m(m -n)
> mn +n^2 = n(m +n)
> m^2 -n^2 = (m -n)(m +n)
–> el m.c.m. es = mn(m +n)(m -n) = mn(m^2 -n^2) Esta es la Solución.
el mcRegla General.
Se descomponen cada uno de los polinomios dados en sus factores primos. El M.C.D. es el producto de los factores comunes con su menor exponente.
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Ejemplo a) Hallar el m.c.d. de 4a^2+4ab y 2a^4-2a^2b^2
1°) Se factorizan las expresiones dadas:
–> 4a^2 + 4ab = 4a(a+b) (Se aplicó Caso I de Factorización)
–> 2a^4 -2a^2b^2 = 2a^2(a^2 – b^2) = 2a^2(a+b)(a-b) (Se aplicó Caso I y IV de Factorización)
2°) Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de 4a y 2a^2 son 2a
Factor común de (a+b) y (a+b)(a-b) son (a+b)
por lo tanto, el m.c.d. de 4a(a+b) y 2a^2(a+b)a-b es = 2a(a+b) , que es laSolución.
NOTA : Al factorizar es necesario aplicar las reglas para la Descomposición de Factores o Factorización, según el Caso que le corresponda.
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Ejemplo b) Hallar el m.c.d. de x^2 – 4 , x^2 -x -6 , x^2 +4x +4
1°) Se factorizan las expresiones dadas:
–> x^2 -4 = (x -2)(x +2) Se aplicó el Caso IV de Factorización
–> x^2 -x -6 = (x -3)(x +2) Se aplicó el Caso III de Factorización.
–> x^2 +4x +4 = (x +2)^2 = (x +2)(x +2) Se aplicó el Caso III de Factorización.
Se buscan los factores comunes de las expresiones encontradas:
Factor común de las 3 expresiones es = (x +2)
por lo tanto, el m.c.d. de x^2 -4, x^2 -x -6 y x^2 +4x +4 es = x +2 Solución.