Matemáticas, pregunta formulada por asdeasde, hace 1 año

¿Cuál es el dígito de las unidades de (1+1²)+(2+2²)+(3+3)+ ... +(2000+2000²)?

asdeasde: Me refiero a 1+1 elevado al cuadrado todos los numeros a un lado estan al cuadrad osea 3+3 al cuadrado y 2000 al cuadrado

asdeasde: Estoy buscando ciertas propiedades que me ayuden para resolver este problema de una manera rapida y completa

Jeizon1L: Interesante, veamos si puedo darle solución :)

asdeasde: el 3 tambien se encuentra a el cuadrado

asdeasde: Necesito una explicacion completa

Jeizon1L: sí claro, no te preocupes, me quedó claro con el primer comentario ;)

asdeasde: Ademas preguntare otros problemas de los cuales tambien tengo ciertas dudas si quieren echar un vitaso

asdeasde: vistaso*

asdeasde: vistazo*

Respuestas a la pregunta

Contestado por Eduen

$\begin{matrix} \displaystyle\sum_{i=1}^{2000}(i+i^2) &=& \displaystyle\sum_{i=1}^{2000}(i) + \displaystyle\sum_{i=1}^{2000}(i^2) \\ \\ &=& \dfrac{2000(2001)}{2} + \dfrac{2000(2001)(2(2000)+1)}{6} \\ \\ &=& \dfrac{2000(2001)(4004)}{6} \\ \\ &=& 2670668000 \end{matrix}$

Respuesta: 2670668000

asdeasde: Te mandare un link para que mires el problema, es el ultimo de la paginahttp://ichi.fismat.umich.mx/recursos/prob15/sol26a50.html#50

asdeasde: Espera!! En la respuesta dice que llega hasta el 2001 pero el problema dice que llega hasta el 2000

Eduen: me temo que esa solución está mala.

asdeasde: Me das una explicacion de hacerlo a mano y no con una calculadora

Eduen: Mira, debes utilizar la formula [n(n+1)(n+2)]/6 ; luego se sabe n=2000 = 2x10^3; eso significa que los últimos 3 digitos deberán ser 0;

Eduen: Perdón es [n(n+1)(n+2)/3] en tu caso; te recomiendo que leas sobre sumas lineales y cuadraticas para puedas determinar la suma del término general;

Jeizon1L: para 2001, al dividirlo por 5 ( es decir: 2001/5 ) nos da como residuo 1, y de acuerdo con la tabla que se ha deducido en mi respuesta, la última cifra deberá ser 2. Será cuestión de comprobar. Veamos, segun ésta respuesta la suma hasta n=2000, nos da : 26706668000 , bueno, solo nos interesa que termina en 0, y si a esto le añadimos la ultima cifra del resultado de 2001+2001² que será: 2 evidemente (trabaja con las ultimas cifras) , obtendremos que la ultima cifra efectivamente será 2.Saludos

Jeizon1L: *evidemente = evidentemente. Error de tipeo, ops! :)

Eduen: Entonces yo equivoqué para mi la última cifra es la de unidades, osea que aquí "ultimo" se refiere al digito de mayor magnitud ? interesante dato gracias Jeizon

Jeizon1L: Al contrario, tu respuesta es correcta, la última cifra o mejor dicho el dígito de las unidades es 0. Lo que hice fue otro ejemplo, cuando llega hasta 2001+2001².

Contestado por Jeizon1L

Vaya, he tenido que salir y veo que ya han resuelto tu ejercicio del modo que pensaba hacerlo... en fin,veamos otro modo de resolverlo, por inducción matemática:

los números son de la forma: n+n²

así:

1+1² = 1 , terminan en 2 ------------ la suma termina en 2
2+2² = 6 , termina en 6    ----------- 2+ 6 = 8 , termina en 8
3+3² = 12, termina en 2 ------------ 8+ 2 = 10 , termina en 0
4+4² = 20, termina en 0 ------------ 10+ 0 = 10 , termina en 0
5+5² = 30, termina en 0 ----------   10 +0 = 10 , termina en 0
6+6² = 42, termina en 2 ---------- 10+2 = 12 , termina en 2
7+7²= 56, termina en 6    -------- 12+6 = 18 , termina en 8
8+8²= 72 , termina en 2 ----------- 18 + 2 = 20, termina en 0
9+9²= 90, termina en 0 ------------ 20 + 0 = 20 , termina en 0
10+10²=110, termina en 0 --------- 20+ 0 = 20 , termina en 0
11+11²=132, termina en 2 ---------- 20+2=22 , termina en 2
12+12²=156, termina en 6 ---------- 22+6=28 , termina en 8
13+13²=182, termina en 2---------- 28+ 2= 30 , termina en 0
14+14²=210, termina en 0 ---------- 30+0= 30 , termina en 0
15+15²=240, termina en 0 --------- 30 + 0 = 30, termina en 0
16+16²=272, termina en 2 ---------- 30+2= 32 , termina en 2

y así podria continuar buen rato, pero ¿lo has notado?

la última cifra de la suma de los términos de la serie dada por n+n², termina bajo la siguiente secuencia o patrón:

2,8,0,0,0

Ahora, en general, para determinar en qué cifra terminará la suma de los terminos para n = k debemos seguir los siguientes pasos:

k/5 ; cociente = c , residuo = r

para r = 1 → la ultima cifra será: 2
   r = 2 → la última cifra será: 8
   r = 3 → la ultima cifra será: 0
   r = 4 → la ultima cifra será: 0
   r = 0 → la ultima cifra será: 0

Ahora bien, teniendo claro esto, resolvamos el ejercicio para n=2000

Solucion:

2000/5 : cociente = 400 , residuo = 0

de acuerdo con nuestra tablita:

para r = 1 → la ultima cifra será: 2
   r = 2 → la última cifra será: 8
   r = 3 → la ultima cifra será: 0
   r = 4 → la ultima cifra será: 0
   r = 0 → la ultima cifra será: 0

como el residuo es 0, la última cifra (dígito de las unidades) será 0

Comentame si te ha gustado mi solución.

Saludos!!

asdeasde: Me acaba de explotar la cabeza :'( No es cierto gracias por tu ayuda, gracias por el proceso a mano :D

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