Question

¿Cuál es el coeficiente del término x⁵y³ en el desarrollo del binomio (x y)⁸?.

Answer 1

Tenemos que, el coeficiente de término $x^5y^3$ en el desarrollo del binomio $(x-y)^8$ está dado por -56

¿Cómo es el desarrollo del binomio de newton?

Tenemos que el desarrollo del binomio de newton se logra con la siguiente expresión dada

                                              $\left(a+b\right)^n=\sum _{i=0}^n\binom{n}{i}a^{\left(n-i\right)}b^i$

Donde vamos a sustituir para el binomio dado por $(x-y)^8$ esto sería lo siguiente

                                            $\sum _{i=0}^8\binom{8}{i}x^{\left(8-i\right)}\left(-y\right)^i$

Donde $a = x$ y $b = y$, cuando expandimos el desarrollo vamos a obtener los siguientes resultados

            $=\frac{8!}{0!\left(8-0\right)!}x^8\left(-y\right)^0+\frac{8!}{1!\left(8-1\right)!}x^7\left(-y\right)^1+\frac{8!}{2!\left(8-2\right)!}x^6\left(-y\right)^2+\frac{8!}{3!\left(8-3\right)!}x^5\left(-y\right)^3+\frac{8!}{4!\left(8-4\right)!}x^4\left(-y\right)^4+\frac{8!}{5!\left(8-5\right)!}x^3\left(-y\right)^5+\frac{8!}{6!\left(8-6\right)!}x^2\left(-y\right)^6+\frac{8!}{7!\left(8-7\right)!}x^1\left(-y\right)^7+\frac{8!}{8!\left(8-8\right)!}x^0\left(-y\right)^8$

Done vamos a buscar el término que acompaña al factor $x^5y^3$ luego de simplificar los cálculos, vemos que dicho término está dado por

                                  $x^8-8x^7y+28x^6y^2-56x^5y^3+70x^4y^4-56x^3y^5+28x^2y^6-8xy^7+y^8$

El término que acompaña al factor $x^5y^3$ está dado por -56

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