Question

¿Cuál es aproximadamente la longitud de la circunferencia en la que se puede inscribir un pentágono regular cuyo perímetro es 3? (Idealmente, si pudieran explicar el procedimiento y por qué se hace cada cosa, si no es mucha molestia)

Answer 1

Respuesta:

$l=3.2$

Explicación paso a paso:

Primero, dibujamos la circunferencia y le inscribimos un pentágono, o sea un polígono de 5 lados. Por ser regular, sus lados son iguales. En la imagen adjunta tienes el pentágono ABCDE.

Ubicamos el centro F del pentágono y unimos cada vértice con el centro. Así obtenemos 5 triángulos isósceles iguales. Estos son:

AFB; BFC; CFD; DFE; EFA

Para calcular la longitud de la circunferencia, cuya fórmula es $l=2\pi*r$

necesitamos conocer la medida del radio. Vamos a seleccionar el radio FC al cual llamaremos "h" (Radios son los segmentos que van desde los vértices hasta el centro)

Para saber la medida del radio, procedemos así:

Calculamos el valor de los ángulos que se forman en el centro o vértice F de cada triángulo. Con calcular uno solo basta porque los triángulos son iguales.

Hacemos esta operación: 360°/5=72° ¿Por qué? Porque la vuelta completa mide 360° y mira que esa vuelta se dividió en 5 ángulos iguales, o sea los que están en el vértice F o centro

Ahora calculemos cuánto mide un lado del pentágono regular inscrito: El ejercicio nos dice que el perímetro es 3. Si perímetro es la suma de los lados y el pentágono tiene 5 lados, entonces la medida de un lado será el cociente de dividir 3/5 =0.6

Ahora, consideremos el triángulo isósceles BFC. Trazamos la bisectriz FK, que a la vez es mediana, o sea que además de dividir al ángulo de 72° en dos ángulos de 36°, también divide al lado CB en dos partes iguales, cada una de ellas de 0.3, puesto que el lado completo mide 0.6

Igualmente, esa bisectriz genera dos triángulos rectángulos iguales: FKC y FKB. Nos concentramos en el triángulo FKC con el fin de calcular el lado h o hipotenusa de dicho triángulo. Esa hipotenusa es el radio que necesitamos para resolver la pregunta del ejercicio.

¿Qué tenemos en el triángulo FKC?

Tenemos un ángulo recto en el vértice K; también tenemos un ángulo de 36° en el vértice F, y un cateto opuesto a dicho ángulo, que es KC y mide 0.3

O sea que para averiguar h, podemos usar la razón seno, que nos relaciona el cateto opuesto con la hipotenusa, así:

$sen36=\frac{0.3}{h}$ ;      $h*sen36=0.3$ ;    $h=\frac{0.3}{sen36}$ ;   $h=0.51$

Entonces, ya sabemos que el radio mide 0.51

Ahora aplicamos la fórmula de la longitud de la circunferencia:

$l=2*\pi*0.51$;   $l=3.2$