¿Cuál de las siguientes expresiones debe sumarse a 64x3−49x2+20x−17 para que la suma pueda factorizarse y quede como el cubo de un binomio?
A.
(x−4)2
B.
(3x−1)2
C.
49x2+10x−17
D.
4x3−21x2+10x−2
Respuestas a la pregunta
A la expresión 64x³ − 49x² + 20x − 17 debe sumarse el binomio cuadrado (x - 4)² para que la suma pueda factorizarse y quede como el cubo de un binomio (4x - 1)³. La opción correcta es la marcada con la letra A.
Explicación paso a paso:
La solución del binomio al cubo es:
(a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³
El polinomio dado será el desarrollo de un binomio al cubo si le sumamos el desarrollo del binomio cuadrado (x - 4)²
(x - 4)² = (x)² - 2(x)(4) + (4)² = x² - 8x + 16
Veamos:
(64x³ − 49x² + 20x − 17) + (x² - 8x + 16) = 64x³ − 48x² + 12x − 1
Si la última expresión es el desarrollo de un binomio al cubo, los extremos deben ser los cubos de los términos del binomio:
a³ = 64x³ tomando raiz cúbica a cada lado a = 4x
b³ = 1 tomando raiz cúbica a cada lado b = 1
Calculemos los términos intermedios a ver si se cumple el desarrollo:
3a²b = 3(4x)²(1) = 48x²
3ab² = 3(4x)(1)² = 12x
Comprobado, por lo que:
A la expresión 64x³ − 49x² + 20x − 17 debe sumarse el binomio cuadrado (x - 4)² para que la suma pueda factorizarse y quede como el cubo de un binomio (4x - 1)³. La opción correcta es la marcada con la letra A.