cuadro comparativo entre la media geométrica y la media aritmética
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Imaginemos que para calcular lo que ha subido en el año el precio de cierta categoría de producto (por ejemplo, cierto tipo de vestido de mujer), nos proporcionan los siguientes cinco datos de variaciones de precios que nuestros encuestadores han observado en las tiendas:
+1%, +10%, -15%, + 20%, + 30%
Las observaciones se han efectuado en tiendas independientes, siguiendo las reglas establecidas para garantizar que la muestra de observaciones, aunque pequeña, sea aleatoria y estadísticamente representativa de la categoría del producto.
Pregunta:
¿Cuál ha sido la variación anual de los precios de esa categoría de producto?
Respuesta:
Para calcular la variación anual de los precios del producto es preciso promediar las 5 observaciones efectuadas. La cuestión es: ¿qué tipo de media utilizar?
Si utilizamos una "medida aritmética" (es decir, la suma de las 5 observaciones, dividida por 5), el resultado sería una tasa de variación del 9,2% (es decir, 46/5).
Pero si utilizamos una "media geométrica" (para lo que, tras sumar 1 a todos los términos, tendriamos que multiplicarlos entre sí y luego sacar la raíz quinta), el resultado sería una tasa de variación del 8%.
Su cálculo puede hacerse en esta calculadora (los decimales deben separarse con un punto, como en inglés, no mediante coma).
Pues bien, como señaló François Derbaix (buen amigo del Consejo Asesor de Indexa), lo preferible en este caso es utilizar una media geométrica, pues lo que se promedian no son valores absolutos (por ejemplo, el precio en euros de las prendas), sino tasas de variación respecto a cierto valor de partida.
En general, debe utilizarse una media geométrica (en vez de una media aritmética) en los siguientes casos:
1. Para promediar las tasas de crecimiento de una misma variable en sucesivos períodos.
Asi, por ejemplo, para calcular la tasa de crecimiento del PIB o del valor de una cartera de valores a lo largo de varios años, solo tiene sentido utilizar la media geométrica, conocida en este caso como "tasa de crecimiento acumulativa media" o "tasa de crecimiento anual compuesta" -en inglés, compound (o cumulative) average growth rate (CAGR).
2. Para promediar tasas de variación o cocientes respecto a cierto nivel de referencia (aunque se trate de variaciones en un mismo período, no en períodos consecutivos).
La razón es que una de las propiedades de la media geométrica es que, cuando se trata de promediar cocientes, es el único promedio que cumple que la media geométrica de los cocientes es igual al cociente entre la medida geométrica de los numeradores y la de los denominadores, esto es, si consideramos los cocientes x/y, su media geométrica coincide con el cociente entre la media geométrica de los valores de x y la media geométrica de los valores de la variable y.
Una de las características de la medida geométrica es que siempre resulta menor que la media aritmética, como ilustra el siguiente gráfico, en el que dados dos segmentos a y b, la media aritmética (A) -el radio de la circumferencia- siempre es mayor que la media geométrica (G).
El gráfico también ilustra que la discrepancia entre la media aritmética y la geométrica aumenta a medida que lo hace la diferencia entre los valores a promediar (así, en el gráfico, cuando más largo sea el segmento a (y menor el b), tanto menor será la media geométrica G, mientras que la media aritmética A no se alterará.
Esa inexorable relación entre la media aritmética y la geométrica -la primera siempre sale mayor que la segunda- da especial relevancia a la elección práctica entre una y otra.
El Retail Price Index del Reino Unido
La diferencia práctica entre usar una media aritmética y una media geométrica resulta especialmente relevante en el Reino Unido, como explicaba el viernes pasado en el Financial Times la crónica de Chis Giles.
En efecto, la Oficina Nacional de Estadística de ese país publica dos índices distintos de variación de precios minoristas:
- El Retail Price Index (RPI), exclusivo del Reino Unido y basado en la media aritmética de las variaciones de precios.
- El Consumer Price Index (CPI), similar al Índice de Precios al Consumo de España y de los restantes países de la Unión Europea, basado en la media geométrica de las variaciones de precios.
Las discrepancias entre ambos índices se agudizan cuando las variables cuya variación se mide son especialmente volátiles, como ocurre -en particular- en el caso de ciertas categorías de vestidos de mujer (como los tops de tirantes), debido a dos circunstancias:
- Las políticas comerciales de rebajas, que, al no ser completaente constantes, puede llevar a que los encuestadores comparen precios rebajados con precios no rebajados de una misma prenda;
- La gran rotación y continua cambio de los modelos vendidos, que obliga a los encuestadores a decidir cuando una prenda es "comparable" a aquella cuyo precio observaron meses atrás.