Question

ctgx/1+cscx=cscx/1+secx

Answer 1

ctgx/(1+cscx)=cscx/(1+secx)

(cosx/senx)/(1+1/cosx)=(1/cosx)/(1+1/cosx)

(cosx/senx)/((cosx+1)/cosx))=(1/cosx)/((cosx+1)/cosx))

cos²x/(senx(cosx+1))=cosx/(cosx(cosx+1))

cosx/(senx(cosx+1))=1/(cosx(cosx+1))

cosx((cosx(cosx+1))=senx(cosx+1)

cos²x=senx

cos²x-senx=0 .................(1)

de la identidad trigonométrica 

sen²x+cos²x=1
cos²x=1-sen²x  (reemplazamos este valor en (1))

(1-sen²x)-senx=0

-sen²x-senx+1=0

sen²x+senx-1=0

si senx= y

y²+y-1=0

y1=(-1+√(1²)-4(1)(-1))/2=(-1+√5)/2
y2=(-1-√(1²)-4(1)(-1))/2=(-1-√5)/2

y1=senx=(-1+√5)/2
y2=senx=(-1-√5)/2

para y1
y1=senx=(-1+√5)/2

senx=(-1+√5)/2
x=arcsen((-1+√5)/2)
x=38.17º

para y2
y2=senx=(-1-√5)/2
senx=(-1-√5)/2
x=arcsen(-1-√5)/2
x ∉ 

entonces x=38.17º

Answer 2

  ctg x / (1 + csc x) = csc / (1 + sec x)
usemos equivalencias
            (cos x / sen x) / (1 +1 /sen x)  =  (1/ sen x) / (1 + 1/cos x)
resolvemos
 (cos x / sen x) / ((sen x + 1 ) / senx)  =  (1 / sen x) / ((cos x + 1) / cos x)
por extremos y medios
         cos x . sen x / (sen x + 1) senx  =  cos x /  sen x (cos x +1)
reducimos
                             cos x / (sen x + 1)  =  cos x / sen x (cos x + 1)
                   cos x . sen x (cos x + 1)  =  cos x . (sen x + 1)
                              sen x (cos x + 1)  =  sen x + 1
                        senx . cos x + sen x  =  sen x + 1
                                     senx . cos x  =  1
suerte