Question

∫csc (4x2) cot (4x2) xdx

Answer 1

Primero debemos simplificar la funcion a integrar.
sabemos que
$\csc(4x { }^{2} ) = \frac{1}{ \ \sin(4 {x}^{2} ) }$
ademas sabemos que
$\cot(4 {x}^{2} ) = \frac{ \cos(4 {x}^{2} ) }{ \sin(4 {x}^{2} ) }$
reescribimos la función a integrar como:
$∫ \frac{ \cos(4 {x}^{2} ) }{ { \sin(4 {x}^{2} ) }^{2} } xdx$
Luego aplicamos el método de integracion por sustitución, diciendo
$u = 4 {x}^{2}$
derivamos ambos lados
$\frac{du}{dx} = 8x$
despejando dx
$dx = \frac{du}{8x}$
si hacemos el cambio de variable en la función a integrar tenemos
$∫ \frac{ \cos(u) }{ { \sin(u) }^{2}8 x} xdu$
simplificamos
$∫ \frac{ \cos(u) }{8 { \sin(u) }^{2} } du$
volvemos a hacer integracion por sustitucion ( o cambio de variable)
$z = \sin(u)$
derivamos
$\frac{dz}{du} = \cos(u)$
despejamos du
$du = \frac{dz}{ \cos(u) }$
y ahora si reescribimos la función a integrar
$\frac{1}{8} ∫ \frac{ \cos(u) }{ { z }^{2} \cos(u) dz}$
simplificamos
$\frac{1}{8} ∫ \frac{1}{ {z}^{2} } dz$
y esta funcion si la sabemos integrar, eso es lo mismo que
$\frac{1}{8} ∫ {z}^{ - 2} dz$
eso sera igual a
$\frac{1}{8} ( - \frac{1}{z} ) + c$
y sustituimos los cambios de variable que hicimos
$- \frac{1}{8 \sin(u) } + c$
y de ahora reemplazamls a u

Esta integral será igual a:
$= - \frac{1}{8 \sin(4 {x}^{2} ) } + c$