Question

(Costo marginal) El costo marginal de los Productos ABC es C′(x) 3 0.001x y el costo de fabricar 100 unidades es $1005. ¿Cuál es el costo de producir 200 unidades? Los artículos se venden a $5 cada uno. Determine el incremento en la utilidad si el volumen de venta se incrementa de 1000 a 2000.

Answer 1

Vale, para ayudarte con este problema debemos recordar que el costo marginal C'(X) es básicamente la derivada de la función de costo C(X), por tanto, para hallar el costo de producir 200 unidades de los productos ABC, debemos seguir los siguientes pasos:

1. Calcular la antiderivada de la función de costo marginal:

C(X) = $\int\limits {C'(x)} \, dx$

C(X) = $\int\limits {3 + 0,001X} \, dx$

C(X) = $\int {3} \, dx + \int {0,001X} \, dx$

C(X) = $3 \int {dx} + 0,001 \int {X} \,dx$

C(X) = $3X + 0,001 \frac {X^{2}}{2} + k$ donde k = Constante

2. Evaluar la expresión obtenida con la información adicional que nos dan para obtener el valor de k:

Sabemos que el costo de producir 100 unidades es $1.005, por tanto...

C(100) = $1.005

C(X) = $3(100) + 0,001 \frac {(100)^{2}}{2} + k$

C(X) = $300 + 0,001 \frac {(10.000)}{2} + k$

C(X) = 300 + 0,001 (5.000) + k

C(X) = 300 + 5 + k

1.005 - 300 - 5 = k

k = 700

Una vez que sabemos esto, podemos hallar el costo de producir 200 unidades:

C(X) = $3X + 0,001 \frac {X^{2}}{2} + 700$

C(200) = $3(200) + 0,001 \frac {(200)^{2}}{2} + 700$

C(200) = $600 + 0,001 \frac {40.000}{2} + 700$

C(200) = 600 + 0,001 (20.000) + 700

C(200) = 600 + 20 + 700

C(200) = $1.320

Finalmente, para determinar el incremento de la utilidad si el volumen de ventas se incrementa de 1.000 a 2.000 unidades, sabiendo que cada unidad se vende a un precio de $5, debemos recordar que la utilidad de obtiene al restar de los ingresos (Unds. vendidas × Precio de Vta.), los costos de producir esas unidades.

Por tanto:

⇒ Ingresos al vender 1.000 unidades = I(X) = 1.000 × $5

I(1.000) = $5.000

- Costos de producir 1.000 unidades = C(X)

- C(1.000) = $3(1.000) + 0,001 \frac {(1.000)^{2}}{2} + 700$

- C(1.000) = $3.000 + 0,001 \frac {1.000.000}{2} + 700$

- C(1.000) = 3.000 + 0,001 (500.000) + 700

- C(1.000) = $4.200

U(X) = I(X) - C(X)

U(1.000) = $5.000 - $4.200

U(1.000) = $800

⇒ Ingresos al vender 2.000 unidades = I(X) = 2.000 × $5

I(2.000) = $10.000

- Costos de producir 2.000 unidades = C(X)

- C(2.000) = $3(2.000) + 0,001 \frac {(2.000)^{2}}{2} + 700$

- C(2.000) = $6.000 + 0,001 \frac {4.000.000}{2} + 700$

- C(2.000) = 6.000 + 0,001 (2.000.000) + 700

- C(2.000) = $8.700

U(X) = I(X) - C(X)

U(2.000) = $10.000 - $8.700

U(2.000) = $1.300

Si el volumen de venta se incrementa de 1.000 a 2.000 unidades, la utilidad sufrirá un incremento de $500.

Espero que sea de ayuda!

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