Question

CORONA SI ESTÁ CON RESOLUCIÓN.

Answer 1

Explicación:

$\sin{(x)} \cdot \csc{(3x-40^{\circ})}=1$

$\sin{(x)} \cdot \frac{1}{\sin{(3x-40^{\circ})} }=1$

$\sin{(x)} \cdot \frac{1}{\sin{(3x-40^{\circ})} } -1=0$

$\frac{\sin{(x)} -\sin{(3x-40^{\circ})} }{\sin{(3x-40^{\circ})} }=0$

$\sin{(x)} -\sin{(3x-40^{\circ})} =0$

Redefiniendo mediante la propiedad de suma-producto

$\sin{u}-\sin{v}=2\sin{(\frac{u-v}{2} )} \cos{(\frac{u+v}{2} )}$

$\sin{x}-\sin{(3x-40^{\circ})}=2\sin{(\frac{x-3x-40^{\circ}}{2} )} \cos{(\frac{x+3x-40^{\circ}}{2} )}$

Por lo que;

$2\sin{(\frac{x-3x-40^{\circ}}{2} )} \cos{(\frac{x+3x-40^{\circ}}{2} )} = 0$

$2\sin{(-x+20^{\circ} )} \cos{(2x-20^{\circ} )} = 0$

Resolvemos para cada factor, donde el primer valor no se toma en la evaluación de las funciones:

$\sin{(-x+20^{\circ} )} = 0$ .

Se sabe que es igual a cero en 0° y 180°. Por lo que:

$-x+20^{\circ} =0^{\circ} +360^{\circ} n \\ -x+20^{\circ} =180^{\circ} +360^{\circ} n$

Se resuelva para cada caso:

$-x+20^{\circ} =0^{\circ} +360^{\circ} n \\ x=20^{\circ} -0^{\circ} -360^{\circ} n \\ x=20^{\circ} -360^{\circ} n$

$-x+20^{\circ} =180^{\circ} +360^{\circ} n \\ x=20^{\circ} -180^{\circ} -360^{\circ} n \\ x=-160^{\circ} -360^{\circ} n$

Para $\cos{(2x-20^{\circ} )} = 0$ .

Se sabe que es igual a cero en 90° y 270°. Por lo que:

$2x-20^{\circ} =90^{\circ} +360^{\circ} n \\ 2x-20^{\circ} =270^{\circ} +360^{\circ} n$

Se resuelva para cada caso:

$2x-20^{\circ} =90^{\circ} +360^{\circ} n \\ 2x=90^{\circ} +360^{\circ} n+20^{\circ} \\ x=\frac{110^{\circ} +360^{\circ} n}{2} \\ x=55^{\circ} +180^{\circ} n$

$2x-20^{\circ} =270^{\circ} +360^{\circ} n \\ 2x=270^{\circ} +360^{\circ} n+20^{\circ} \\ x=\frac{290^{\circ} +360^{\circ} n}{2} \\ x=145^{\circ} +180^{\circ} n$

Se tiene entonces que:

$x=\[\left \{\begin{array}{r}20^{\circ} -360^{\circ} n \\ -160^{\circ} -360^{\circ} n \\ 55^{\circ} +180^{\circ} n \\ 145^{\circ} +180^{\circ} n \end{array}\right .\]$

Ahora si podemos calcular $\tan{3x}$ . Se considera a $n=1$ el cual representa el número de vueltas.

$\tan{(3x)} \\ \tan{[3(20^{\circ} -360^{\circ} n)]} \\ \tan{(60^{\circ} -1080^{\circ})} \\ \tan{(-1020^{\circ})} \\ \sqrt{3}$

$\tan{(3x)} \\ \tan{[3(-160^{\circ} -360^{\circ})]} \\ \tan{(-480^{\circ} -1080^{\circ})} \\ \tan{(-1560^{\circ})} \\ \sqrt{3}$

$\tan{(3x)} \\ \tan{[3(55^{\circ} +180^{\circ})]} \\ \tan{(165^{\circ} +540^{\circ})} \\ \tan{(705^{\circ})} \\ -2+\sqrt{3}$

$\tan{(3x)} \\ \tan{[3(145^{\circ} +180^{\circ})]} \\ \tan{(435^{\circ} +540^{\circ})} \\ \tan{(975^{\circ})} \\ 2+\sqrt{3}$

Respuesta: Por tanto, los resultados indican que:

$\tan{3x}=\[\left \{\begin{array}{r} \sqrt{3} \\ -2+\sqrt{3} \\ 2+\sqrt{3} \end{array}\right .\]$