coordenadas de la historia
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Coordenadas cartesianas o rectangulares
Se cuenta que el origen de todo esto fue en verdad sosegado: un día, tirado en la cama de mañana, mientras veía el movimiento de una mosca por el techo, Descartes ideó la forma de representar un punto mediante un par de números que indicasen su distancia respecto de dos de las paredes del cuarto.
Coordenadas cartesianas
En la figura, el punto A se halla en horizontal a dos unidades del eje vertical, y en vertical a dos del horizontal. Se dice entonces que sus coordenadas son (2, 3). A la primera de ellas se le llama abscisa, y a la segunda, ordenada.
Independientemente de la veracidad de la historia, lo cierto es que el sistema de coordenadas que Descartes expuso en su obra La Géométrie no era exactamente como el que usamos hoy (vamos, que las coordenadas que utilizaba Descartes no eran cartesianas): solo el eje horizontal era dado, mientras que el otro se escogía, no necesariamente perpendicular, según las circunstancias del problema. Además, solo consideraba las curvas dentro del primer cuadrante.
Una vez establecida la correspondencia entre puntos y coordenadas, el siguiente concepto necesario para el desarrollo de la geometría analítica es el de lugar geométrico, ya manejado por autores antiguos como Apolonio. Consiste en considerar conjuntos formados por los puntos que cumplen unas determinadas condiciones. Si estas condiciones se expresan como una relación entre las coordenadas de un punto genérico, tenemos la ecuación de la curva.
Lugar geométrico
La circunferencia de radio 1 centrada en el origen se puede describir como el lugar geométrico de los puntos del plano que distan una unidad del origen (el punto O). Si llamamos x e y a las coordenadas de un punto cualquiera de la circunferencia y aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo recto que se ve en la figura, se tiene que . Pues bien: esta relación entre las coordenadas de un punto genérico es a lo que se llama ecuación de la curva. Su sentido es claro: cualquier par de números que cumplan la ecuación son coordenadas de un punto del lugar geométrico.
Coordenadas polares
Siendo el truco magnífico, en algunos casos las ecuaciones obtenidas mediante las coordenadas cartesianas son bastante farragosas. Por eso se buscaron otras correspondencias entre geometría y álgebra, entre puntos y números. Así, en su obra Método de Fluxiones (1671), Newton presentó hasta ocho tipos distintos de sistemas de coordenadas. Su “séptima manera” es lo que hoy conocemos por coordenadas polares. (Se cree que las inventó Newton, aunque la prioridad de la publicación se debe a Jacques Bernouilli).
Coordenadas polares
En la figura, el punto A tiene un módulo de 4 unidades, mientras que su argumento es de π/4 radianes (o 45º). Por lo tanto, las coordenadas polares del punto A son (4, π/4).
Son muchas las curvas que tienen una forma tremendamente elegante expresadas en polares: así, la espiral de Arquímedes tiene por ecuación r = θ (es decir: sus puntos son tales que su módulo y su argumento coinciden), mientras que la espiral logarítmica queda definida por . Basta comparar con sus ecuaciones cartesianas, x2+y2−−−−−−√=arccos(xx2+y2−−−−−−√) y x2+y2−−−−−−√=earccos(xx2+y2−−−−−−√ respectivamente, para darse cuenta de las ventajas de las coordenadas polares.
Coordenadas paramétricas
La generalización en el uso de un nuevo sistema de representación más sofisticado se debe al genio de Euler y Gauss, quienes lo usaron ampliamente en el estudio de curvas y superficies. Las coordenadas paramétricas tiene la ventaja de ser intrínsecas, pues no dependen de unos ejes externos como en el caso de las coordenadas cartesianas, sino que se basan en un sistema de referencia incluido en el propio objeto. Además, el número de parámetros necesarios para describir el objeto geomético estudiado indica su dimensión (uno en el caso de las curvas). Para poder visualizar el objeto estudiado necesitamos poder transformar las coordenadas paramétricas en coordenadas cartesianas. Para ello se expresan las relaciones entre ambos sistemas de representación mediante las llamadas ecuaciones paramétricas, que tienen además la característica de generar la curva.
Ecuaciones paramétricas
Para obtener los puntos de la elipse de la figura basta darle valores al parámetro t en las ecuaciones
{x=32costy=sent
Al hacerlo, se ve que dichos puntos están sobre la curva en el mismo orden que los valores del parámetro.