Question

Continuidad Un ingeniero está diseñando la ruta de una red eléctrica de alta tensión, la cual tiene una difícil topografía. Suponga que las mediciones obtenidas de los segmentos están dadas por la siguiente función en kilómetros.


r(x)= {(x^2+2ax+2 si ≤-1
4 si-1 bx+1 si x>3


me podrian hacer el favor de ayudarme con este ejercicio muchas , gracias

Answer 1

La función r(x) es continua en x = -1 y x = 3 si se cumple que los valores de a y b son: a = -1/2 y b = 1

Explicación:

Una función f(x) es continua en un valor dado x = α si se cumple que:

$\bold{f(\alpha )= \lim_{x \to\alpha } f_(x)}$

A su vez, para que el límite dado antes exista deben existir y ser iguales los límites laterales.  

En esto último nos vamos a basar para resolver nuestro problema: ya que r₍₋₁₎ y r₍₃₎ están definidas, vamos a plantear los límites laterales en esos puntos y los igualamos a los valores de la función. De esta forma se obtiene, por cada límite, una ecuación lineal que nos permite hallar los valores de a y b.

VALOR x = -1

1.- r₍₋₁₎ = (-1)² + 2a(-1) + 2 = 3 – 2a

2.- $\lim_{x \to \-1^{-} } (x^{2}+2ax+2)=3-2a$

$\lim_{x \to \-1^{+} } (4)=4$

3.- Los límites laterales son iguales, para que el límite exista:

$3-2a=4 \qquad \Rightarrow \qquad \bold{a=-\frac{1}{2}}$

VALOR x = 3

1.- r₍₃₎ = 4

2.- $\lim_{x \to \3^{-} } (4)=4$

$\lim_{x \to \3^{+} } (bx+1)=3b+1$

3.- Los límites laterales son iguales, para que el límite exista:

$4=3b+1\qquad \Rightarrow \qquad \bold{b=1}$