Question

Construye un par de triángulos semejantes cuya razón de proporcionalidad sea de 3:2, ¿cuál es la razón de los perímetros y las áreas de ese par de triángulos semejantes? _____________ (Debajo de esta pregunta, pega la imagen que argumenta tu respuesta)

Answer 1

La relación entre las áreas de los triángulos es 9/4 y la relación entre los perímetros es 3/2.

¿Qué es la relación de semejanza entre triángulos?

Si la razón de proporcionalidad entre triángulos semejantes es 3:2, la relación de semejanza, que es la relación entre lados homólogos de los triángulos ABC y A'B'C es:

$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{3}{2}$

¿Cómo hallar la razón entre las áreas?

La relación entre las bases de los triángulos (que puede ser un par cualquiera de lados homólogos) es 3/2 y la relación entre las alturas homólogas es también 3/2, por lo que el área del triángulo más grande es:

$A_2=\frac{A'B'.h'}{2}=\frac{\frac{3}{2}.AB.\frac{3}{2}h}{2}=\frac{9}{4}\frac{AB.h}{2}\\\\A_2=\frac{9}{4}A_1$

Con lo cual, el área del triángulo más grande es 9/4 mayor que la del triángulo más pequeño.

Razón entre los perímetros de los triángulos semejantes

Utilizando la relación entre lados homólogos, podemos hallar el perímetro del triángulo más grande en función del perímetro del triángulo más pequeño:

$P_2=A'B'+B'C'+A'C'=\frac{3}{2}AB+\frac{3}{2}BC+\frac{3}{2}AC=\frac{3}{2}(AB+BC+AC)\\\\P_2=\frac{3}{2}P_1$

Con lo cual, el perímetro del triángulo más grande es 3/2 veces mayor que el del perímetro del triángulo menor.

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