Construye un cuadro sinóptico con la información de la parábola, incluya la definición, elementos que la definen, los diferentes tipos de ecuaciones, las coordenadas de foco, como abre la parábola dependiendo del eje focal y valor de p (+ o -), la ecuación de la directriz, longitud de lado recto.
Respuestas a la pregunta
Respuesta:Existen también las parábolas rotadas. Por ejemplo si nosotros graficáramos en algún programa de computadora el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación x2+2xy+y2+2x–2y=0
, obtendríamos la siguiente gráfica:
Para reconocer que esa gráfica efectivamente responde a la definición, características y expresión analítica de una parábola, debemos usar autovalores y autovectores. (Esto lo veremos más adelante en la Unidad 8: Aplicaciones de la diagonalización)
Definición de parábola
Dados un punto F
(foco) y una recta r
(directriz), se denomina parábola al conjunto de puntos del plano que equidistan del foco y de la directriz.
Simbólicamente:
P={P(x,y)|d(P,r)=d(P,F)}
Observen que estamos definiendo la parábola como un conjunto de puntos que verifican cierta propiedad geométrica, no como la gráfica de una función cuadrática (que es como ustedes la conocían hasta ahora).
El eje focal es el eje perpendicular a la directriz que pasa por el foco. Es el eje de simetría de la parábola.
El punto de la parábola que pertenece al eje focal se llama vértice.
Para el esquema que realizamos, las coordenadas del vértice son V(0,0)
, las del foco F(c,0) y la recta directriz está dada por r:x=–c. Las coordenadas de un punto genérico Q que pertenece a la directriz son (–c,y)
.
Ahora con estos datos vamos a deducir la ecuación. Por definición:
d(P,r)=d(P,F)
Distancia entre un punto P y la directriz:
distancia entre punto p y directriz
Distancia entre un punto P y el foco:
parabola distancia entre punto y foco
Las igualamos según lo establece la definición:
parabola distancia punto foco punto directriz
Donde los vectores y sus módulos son:
−−→PQ=(–c–x,0)
−−→PF=(c–x,–y)
parabola
parabola ecuacion
Ahora sustituyendo y operando llegamos a:
√c2+2cx+x2=√c2–2cx+x2+y2
c2+2cx+x2=c2–2cx+x2+y2
y2=4cx(c≠0)
Que es la ecuación canónica de la parábola con V(0,0)
y eje focal y=0 (eje x
).
Donde si,
c>0⇒
Las ramas de la parábola apuntan hacia la derecha
c<0⇒
Las ramas de la parábola apuntan hacia la izquierda
Análogamente a lo desarrollado para una parábola con eje focal horizontal, se puede hacer la deducción para las parábolas con eje focal vertical.
Explicación paso a paso:espero que te ayude