Construyase el hexágono regular ABCDEF que tiene por lado 10cm y unase entre sí los vértices A,C,E el círculo y calculese el área de la parte de la superficie de la parte plano sombreada
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1
Fijamos algunos conceptos antes de resolver.
En un hexágono regular, el radio de la circunferencia circuscripta es igual a la longitud del radio.
Los angulos interiores son de 120°.
Busco la altura del triángulo ABC (para restarlo a la longitud del radio y sacar cuanto vale el radio de la circunferencia inscripta). Al trazar la altura, quedan dos triángulos rectángulos con angulos de 30, 60 y obvio 90°. Entonces:
h = 10 sen 30° = 10 . 1/2 = 5 por consiguiente, el radio de la circunferencia inscripta es 5 también.
Su área:
Ac = π.r²= π 25 ≈ 78,53
Luego calculamos el area del triángulo dentro del hexágono.
El lado AC del triángulo lo calculé como :
AC = 2 . 10 sen 30° = 20 √3/2 = 10 √3
La superficie, la calculamos por la fórmula de Herón de Alejandría:
At = √(s (s-a) (s-b) (s-c), con a, b y c los lados del triángulo, que como es equilátero son todos iguales a AC. s es el semiperímetro: (a+b+c)/2
s = 3/2 . 10√3 = 15√3
At = √ [15√3 (15√3-10√3) (15√3-10√3) (15√3-10√3)] =
= √[15√3 (5√3)³ ] = √ [15. 125 √3 (√3)³] = √1875 .9 ≈129,9
Area rayada será igual a At - Ac ; Arayada = 129,9 - 78,53= 51,37
En un hexágono regular, el radio de la circunferencia circuscripta es igual a la longitud del radio.
Los angulos interiores son de 120°.
Busco la altura del triángulo ABC (para restarlo a la longitud del radio y sacar cuanto vale el radio de la circunferencia inscripta). Al trazar la altura, quedan dos triángulos rectángulos con angulos de 30, 60 y obvio 90°. Entonces:
h = 10 sen 30° = 10 . 1/2 = 5 por consiguiente, el radio de la circunferencia inscripta es 5 también.
Su área:
Ac = π.r²= π 25 ≈ 78,53
Luego calculamos el area del triángulo dentro del hexágono.
El lado AC del triángulo lo calculé como :
AC = 2 . 10 sen 30° = 20 √3/2 = 10 √3
La superficie, la calculamos por la fórmula de Herón de Alejandría:
At = √(s (s-a) (s-b) (s-c), con a, b y c los lados del triángulo, que como es equilátero son todos iguales a AC. s es el semiperímetro: (a+b+c)/2
s = 3/2 . 10√3 = 15√3
At = √ [15√3 (15√3-10√3) (15√3-10√3) (15√3-10√3)] =
= √[15√3 (5√3)³ ] = √ [15. 125 √3 (√3)³] = √1875 .9 ≈129,9
Area rayada será igual a At - Ac ; Arayada = 129,9 - 78,53= 51,37
BibiA23:
Gracias
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