CONSTRUIR LA TABLA VALORES CONSIDERADO 5 ELEMENTOS DE DOMINIO Y LUEGO GRAFICAR EN UN SISTEMA DE EJES CARTESIANOS
Respuestas a la pregunta
1. Unidad 3. Funciones Seminario Universitario. Material para estudiantes
2. Secretaria Académica • Seminario Universitario2 Matemática • Unidad 3. Funciones • Material para Estudiantes Contenidos Interpretación de gráficas. Elementos característicos de las funciones: dominio, imagen, raíces. Crecimiento y decrecimiento. Extremos. Fun- ción lineal. Rectas paralelas y perpendiculares. Sistemas de ecuacio- nes. Función cuadrática. Función exponencial y logarítmica. Funciones polinómicas. INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS Se propone resolver los siguientes problemas para iniciar el desarrollo del tema. 1) Dos excursionistas proyectan una caminata hasta un refugio de mon- taña, que se encuentra a 18 km de la ciudad. Para orientarse, cuentan con un perfil del trayecto y un gráfico distancia –tiempo confeccionado por un grupo que realizó la caminata el mes anterior. Observando el gráfico, responder: a) ¿Cuántos kilómetros recorrieron aproximadamente hasta llegar al primer descanso? ¿Cuánto tiempo se detuvieron? b) ¿Cuántos kilómetros recorrieron desde ese lugar hasta alcanzar la primera cima y cuánto tiempo tardaron en subirla? c) ¿Cuántos kilómetros hicieron en bajada? ¿Les llevó menos tiem- po? Situaciónes Problemáticas Situaciónes Problemáticas Resueltas
3. Secretaria Académica • Seminario Universitario3 Matemática • Unidad 3. Funciones • Material para Estudiantes 2) Asociar cada gráfica a las situaciones dadas. Fundamentar respuestas. a) Recorrido realizado por un micro urbano. b) Paseo en bicicleta parando una vez a beber agua. c) Distancia recorrida por un auto de carrera en un tramo del cir- cuito. d) Un cartero repartiendo el correo.
4. Secretaria Académica • Seminario Universitario4 Matemática • Unidad 3. Funciones • Material para Estudiantes 3) La siguiente gráfica nuestra el crecimiento de una persona cada 5 años: a) ¿Cuánto midió al nacer? b) ¿A qué edad alcanza su altura máxima? c) ¿En qué período crece más rápidamente? d) ¿Qué intervalo de números pueden tomar la edad y la altura? e) ¿Por qué se pueden unir los puntos?
5. Secretaria Académica • Seminario Universitario5 Matemática • Unidad 3. Funciones • Material para Estudiantes INTRODUCCIÓN A LAS FUNCIONES En los problemas anteriores, las situaciones se representaron mediante gráficas realizadas en sistemas de ejes cartesianos. Recordemos que un sistema de ejes cartesianos se utiliza cuando se requiere representar puntos en el plano, lo cual necesita de dos rectas perpendiculares, con un centro de referen- cia, llamado origen, el cual se identifica con el punto (0 , 0). Mirando los problemas iniciales, podemos deducir, también que: Problema 1: La distancia depende del tiempo. Problema 2: La estatura depende de la edad. Por lo tanto, las situaciones relacionan dos magnitudes o variables, dependiendo de la na- turaleza física de cada situación. Convencionalmente, se grafican las variables independientes en el eje horizontal y las variables dependientes, en el eje vertical. Puede el lector, verificar esto último en las gráficas iniciales. Estas dependencias entre las variables de situaciones físicas, químicas, mecánicas, económi- cas, pueden funcionar para resolver problemas, si verifican ciertas condiciones. Por ello, las
6. Secretaria Académica • Seminario Universitario6 Matemática • Unidad 3. Funciones • Material para Estudiantes relaciones pueden ser funcionales o no. Las relaciones funcionales o simplemente FUN- CIONES, se utilizan entonces para modelizar (ver Unidad 1) situaciones de todo tipo, por ejemplo: • La distancia que llega un proyectil en función del tiempo empleado. Variable independiente: tiempo. Variable dependiente: distancia. • El costo de un producto en función de la cantidad fabricada. Variable independiente: cantidad fabricada. Variable dependiente: costo. • La altura que alcanza un lanzamiento en función de la velocidad inicial. Variable independiente: velocidad inicial. Variable dependiente: altura. Por lo tanto, para que una relación sea funcional no debe haber ambigüedad para deter- minar, por ejemplo, unívocamente los elementos de la variable independiente y conocer con certeza los valores que va tomando la variable dependiente. Concluimos que: Una relación entre dos variables es función si a cada valor de la variable independiente le corresponde un único valor de la variable dependiente. EJEMPLO 1 Indicar si las siguientes relaciones son funciones: a) Temperatura de una persona tomada cada 4 horas. b) Relación de cada número entero con su triple. c) Temperaturas máximas y mínimas de los pacientes de un hospital. RESPUESTAS a) Es función ya que cada cuatro horas tendrá una única temperatura. b) Es función ya que cada número entero tiene un único triple. c) No es función ya que un paciente puede tener dos valores distintos de temperaturas máxima y mínima. EJEMPLOS RESUELTOS