Question

Consideren la función f(x) =
4x+1
cx+d
, encuentren dos valores c y d para que la asíntota
vertical sea x=-2, y la horizontal y=1/2. Realizar los cálculos y las deducciones
correspondientes.

Answer 1

Para que la asíntota vertical de la función  f(x)  sea    x  =  -2,     y la asíntota horizontal    y  =  1/2,    los valores de  c  y  d  deben ser  8  y  16,  respectivamente.

¿Qué son las asíntotas verticales?

Las asíntotas verticales son rectas verticales, trazadas en valores de  x  que no pertenecen al dominio, a las que la gráfica de una función se aproxima sin llegar a tocarlas.

Si    x  =  a    es una asíntota de f(x), se cumple alguna de las condiciones

$\bold{\lim_{x \to a^-} f_{(x)}~=~\pm \infty\qquad\qquad o\qquad\qquad\lim_{x \to a^+} f_{(x)}~=~\pm \infty}$

¿Qué son las asíntotas horizontales?

Las asíntotas horizontales son rectas horizontales, trazadas en valores de   y   a las que la gráfica de una función se aproxima sin llegar a tocarlas.

Si    y  =  b    es una asíntota de f(x), se cumple alguna de las condiciones

$\bold{\lim_{x \to -\infty} f_{(x)}~=~b \qquad\qquad o\qquad\qquad\lim_{x \to +\infty} f_{(x)}~=~b}$

¿Cuales son las asíntotas de f(x)?

Las asíntotas verticales se encuentran, si las hay, en los valores de  x  que no pertenecen al dominio de  f(x). En el caso de  f(x),  una función racional, las restricciones de dominio se asocian a los valores de  x  que anulan el denominador.

c x  +  d  =  0       (como se evalua en  x  =  -2)

-2 c  +  d  =  0

Las asíntotas horizontales se encuentran, si las hay, en los valores reales de  y  a los que tiende  f(x)  cuando los valores de  x  crecen o decrecen indefinidamente.  La solución del límite correspondiente es igual a la razón entre los coeficientes de los términos de mayor grado de numerador y denominador, ya que ambos son de igual grado.

4 / c  =  1 / 2

Con estas condiciones se construye un sistema de ecuaciones:

-2 c  +  d  =  0

4 / c  =  1 / 2

Resolvemos por el método de sustitución, despejando  c  de la segunda ecuación y sustituyendo en la primera

4 / c  =  1 / 2                ⇒               c  =  8

-2 ( 8 )  +  d  =  0                ⇒               d  =  16

Por tanto

$\bold{f(x)~=~\dfrac{4x~+~1}{cx~+~d}~=~\dfrac{4x~+~1}{8x~+~16}}$

$\bold{\lim_{x \to -2^-} \dfrac{4x~+~1}{8x~+~16}~=~+\infty\qquad\quad o\qquad\quad\lim_{x \to -2^+} \dfrac{4x~+~1}{8x~+~16}}~=~-\infty}$

$\bold{\lim_{x \to +\infty} \dfrac{4x~+~1}{8x~+~16}~=~\dfrac{1}{2}}$

Para que la asíntota vertical de la función  f(x)  sea    x  =  -2,     y la asíntota horizontal    y  =  1/2,    los valores de  c  y  d  deben ser  8  y  16,  respectivamente.

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Función racional y asíntotas            https://brainly.lat/tarea/45784963

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